Realize análise dimensional com os parâmetros: P (pressão), E (energia), V (velocidade), \boldsymbol{\rho} (densidade) e \mu (viscosidade). Escolha como repetitivos \mathbf{P}, \mathbf{V} e \mu.
Passo 1
O enunciado pede uma análise dimensional com as grandezas: P (pressão), E (energia), V (velocidade), \rho (densidade) e \mu (viscosidade). Foram escolhidas como repetitivas P, V e \mu.
Informações dadas e que vou usar explicitamente:
Lista de variáveis: P,\;E,\;V,\;\rho,\;\mu.
Variáveis repetitivas escolhidas: P,\;V,\;\mu.
Número de variáveis: n=5.
Número de dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo): r=3.
Pelo Teorema de Buckingham, o número de grupos adimensionais esperados é k = n - r = 5 - 3 = 2. Vou obter duas grandezas adimensionais independentes (duas \Pi-grupos).
Antes de começar a construir os \Pi-grupos, preciso das dimensões de cada variável (vou escrever como potências de M (massa), L (comprimento), T (tempo)):
Rápida explicação do método (para você saber o porquê das contas): usar o Teorema de Buckingham significa formar produtos da forma
\Pi = P^{\alpha} V^{\beta} \mu^{\gamma} \times (\text{uma das variáveis não-repetitivas})
e escolher os expoentes \alpha,\beta,\gamma de modo que esse produto seja adimensional (ou seja, as potências de M,L,T se anulem). As variáveis não-repetitivas aqui são E e \rho — cada uma vai gerar um \Pi-grupo independente.
Vou fazer isso em etapas separadas: primeiro construir \Pi_1 envolvendo E, depois \Pi_2 envolvendo \rho. Em cada caso, escrevo a dimensão do produto, igualo as potências de M,L,T a zero e resolvo o sistema linear para \alpha,\beta,\gamma. Não precisa de calculadora — são sistemas simples.
Passo 3
Construção de \Pi_1 (grupo que contém E).
Proponho
\Pi_1 = P^{\alpha} V^{\beta} \mu^{\gamma} E.
Agora escrevo a dimensão desse produto (somando os expoentes de M,L,T contribuídos por cada fator):
Exponente de M: \alpha do P mais \gamma do \mu mais 1 do E, logo
M\text{: } \alpha + \gamma + 1.
Exponente de L: -\alpha do P mais \beta do V mais -\gamma do \mu mais 2 do E, logo
L\text{: } -\alpha + \beta - \gamma + 2.
Exponente de T: -2\alpha do P mais -\beta do V mais -\gamma do \mu mais -2 do E, logo
T\text{: } -2\alpha - \beta - \gamma - 2.
Para \Pi_1 ser adimensional, cada um desses expoentes deve ser zero. Assim o sistema é
Cheque rapido: \rho V^{2}/P é adimensional (é, por exemplo, o inverso de uma razão de pressões típica).
Passo 7
Interpretação curta e encorajamento (pra você levar para a prova):
Encontramos exatamente 2 grupos adimensionais como era esperado.
\Pi_2=\dfrac{\rho V^{2}}{P} é uma forma familiar (repare que \rho V^{2} é a “pressão dinâmica” e comparar com P dá uma razão adimensional).
\Pi_1=\dfrac{E P^{2}}{\mu^{3} V^{3}} é menos usual, mas está correta dimensionalmente; pode ser reinterpretada ou reescrita usando outras quantidades (por exemplo usando \nu=\mu/\rho se quiser relacionar com Reynolds), mas como o enunciado pediu repetitivos P,V,\mu essa forma direta é a solução pedida.
Força aí — você já tem o procedimento: montar \Pi = (repetitivas)^(expoentes) × (cada não-repetitiva), escrever as equações de potências de M,L,T, resolver o sistema linear. Dá pra fazer isso rápido na prova com um pouco de prática.