Realize análise dimensional com os parâmetros: P (pressão), E (energia), V (velocidade), \boldsymbol{\rho} (densidade) e \mu (viscosidade). Escolha como repetitivos \mathbf{P}, \mathbf{V} e \mu.

Passo 1

O enunciado pede uma análise dimensional com as grandezas: P (pressão), E (energia), V (velocidade), \rho (densidade) e \mu (viscosidade). Foram escolhidas como repetitivas P, V e \mu.
Informações dadas e que vou usar explicitamente:
  • Lista de variáveis: P,\;E,\;V,\;\rho,\;\mu.
  • Variáveis repetitivas escolhidas: P,\;V,\;\mu.
  • Número de variáveis: n=5.
  • Número de dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo): r=3.
  • Pelo Teorema de Buckingham, o número de grupos adimensionais esperados é k = n - r = 5 - 3 = 2. Vou obter duas grandezas adimensionais independentes (duas \Pi-grupos).
Antes de começar a construir os \Pi-grupos, preciso das dimensões de cada variável (vou escrever como potências de M (massa), L (comprimento), T (tempo)):
  • Pressão P: \;[P] = M\,L^{-1}\,T^{-2}.
  • Energia E: \;[E] = M\,L^{2}\,T^{-2}.
  • Velocidade V: \;[V] = L\,T^{-1}.
  • Densidade \rho: \;[\rho] = M\,L^{-3}.
  • Viscosidade dinâmica \mu: \;[\mu] = M\,L^{-1}\,T^{-1}.

Passo 2

Rápida explicação do método (para você saber o porquê das contas): usar o Teorema de Buckingham significa formar produtos da forma
\Pi = P^{\alpha} V^{\beta} \mu^{\gamma} \times (\text{uma das variáveis não-repetitivas})áã
e escolher os expoentes \alpha,\beta,\gamma de modo que esse produto seja adimensional (ou seja, as potências de M,L,T se anulem). As variáveis não-repetitivas aqui são E e \rho — cada uma vai gerar um \Pi-grupo independente.
Vou fazer isso em etapas separadas: primeiro construir \Pi_1 envolvendo E, depois \Pi_2 envolvendo \rho. Em cada caso, escrevo a dimensão do produto, igualo as potências de M,L,T a zero e resolvo o sistema linear para \alpha,\beta,\gamma. Não precisa de calculadora — são sistemas simples.

Passo 3

Construção de \Pi_1 (grupo que contém E).
Proponho
\Pi_1 = P^{\alpha} V^{\beta} \mu^{\gamma} E.
Agora escrevo a dimensão desse produto (somando os expoentes de M,L,T contribuídos por cada fator):
  • Exponente de M: \alpha do P mais \gamma do \mu mais 1 do E, logo
M\text{: } \alpha + \gamma + 1.
  • Exponente de L: -\alpha do P mais \beta do V mais -\gamma do \mu mais 2 do E, logo
L\text{: } -\alpha + \beta - \gamma + 2.
  • Exponente de T: -2\alpha do P mais -\beta do V mais -\gamma do \mu mais -2 do E, logo
T\text{: } -2\alpha - \beta - \gamma - 2.
Para \Pi_1 ser adimensional, cada um desses expoentes deve ser zero. Assim o sistema é
\begin{cases} \alpha + \gamma + 1 = 0,\\[4pt] -\alpha + \beta - \gamma + 2 = 0,\\[4pt] -2\alpha - \beta - \gamma - 2 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema para \alpha,\beta,\gamma.
Da primeira equação:
\gamma = -\alpha - 1.
Substituo na segunda:
-\alpha + \beta - (-\alpha -1) + 2 = 0
que simplifica para
-\alpha + \beta + \alpha + 1 + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta + 3 = 0,
logo
\beta = -3.
Agora uso a terceira equação, substituindo \beta=-3 e \gamma=-\alpha-1:
-2\alpha - (-3) - (-\alpha -1) - 2 = 0.
Simplificando:
-2\alpha + 3 + \alpha + 1 - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -\alpha + 2 = 0,
portanto
\alpha = 2.
Com \alpha=2 obtemos \gamma = -\alpha -1 = -3.
Logo os expoentes são \alpha=2,\;\beta=-3,\;\gamma=-3. Substituindo na expressão inicial:
\Pi_1 = P^{2} V^{-3} \mu^{-3} E.
É mais legível rearranjar como
\Pi_1 = \dfrac{E\,P^{2}}{\mu^{3} V^{3}}.
Vou checar rapidamente (sanity check): calcular as potências de M,L,T dessa forma dá zero — então está correto.

Passo 5

Construção de \Pi_2 (grupo que contém \rho).
Proponho
\Pi_2 = P^{\alpha} V^{\beta} \mu^{\gamma} \rho.
Escrevo os expoentes resultantes de M,L,T:
  • Exponente de M: \alpha + \gamma + 1 (o +1 vem de \rho).
  • Exponente de L: -\alpha + \beta - \gamma - 3 (o -3 vem de \rho).
  • Exponente de T: -2\alpha - \beta - \gamma.
Igualando a zero obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \gamma + 1 = 0,\\[4pt] -\alpha + \beta - \gamma - 3 = 0,\\[4pt] -2\alpha - \beta - \gamma = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema para \alpha,\beta,\gamma.
Da primeira equação:
\gamma = -\alpha - 1.
Substituo na segunda:
-\alpha + \beta - (-\alpha -1) - 3 = 0
que vira
-\alpha + \beta + \alpha + 1 - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta - 2 = 0,
portanto
\beta = 2.
Agora uso a terceira equação, com \beta=2 e \gamma=-\alpha-1:
-2\alpha - 2 - (-\alpha -1) = 0.
Simplificando:
-2\alpha - 2 + \alpha + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -\alpha -1 = 0,
logo
\alpha = -1.
Com isso \gamma = -\alpha -1 = 0.
Portanto \alpha=-1,\;\beta=2,\;\gamma=0, e
\Pi_2 = P^{-1} V^{2} \rho = \dfrac{\rho\,V^{2}}{P}.
Cheque rapido: \rho V^{2}/P é adimensional (é, por exemplo, o inverso de uma razão de pressões típica).

Passo 7

Interpretação curta e encorajamento (pra você levar para a prova):
  • Encontramos exatamente 2 grupos adimensionais como era esperado.
  • \Pi_2=\dfrac{\rho V^{2}}{P} é uma forma familiar (repare que \rho V^{2} é a “pressão dinâmica” e comparar com P dá uma razão adimensional).
  • \Pi_1=\dfrac{E P^{2}}{\mu^{3} V^{3}} é menos usual, mas está correta dimensionalmente; pode ser reinterpretada ou reescrita usando outras quantidades (por exemplo usando \nu=\mu/\rho se quiser relacionar com Reynolds), mas como o enunciado pediu repetitivos P,V,\mu essa forma direta é a solução pedida.
Força aí — você já tem o procedimento: montar \Pi = (repetitivas)^(expoentes) × (cada não-repetitiva), escrever as equações de potências de M,L,T, resolver o sistema linear. Dá pra fazer isso rápido na prova com um pouco de prática.

Resposta

\displaystyle \Pi_1=\dfrac{E\,P^{2}}{\mu^{3}V^{3}}
\displaystyle \Pi_2=\dfrac{\rho\,V^{2}}{P}

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