Determine a força em cada elemento da treliça carregada. Explique por que não é necessário conhecer o comprimento dos elementos.
Resp. A B=1,2 kN C, A C=1,039 kN T B C=2,08 kN C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a força em cada elemento de uma treliça que está carregada. A matéria envolvida aqui é a estática, mais especificamente o método dos nós para análise de treliças. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as condições de equilíbrio das forças nos nós da treliça, ou seja, garantir que a soma das forças em cada direção seja igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os nós da treliça. Supondo que temos um triângulo formado pelos nós A, B e C, com os elementos AB, AC e BC. Cada elemento pode estar em tensão (puxando) ou compressão (empurrando). Precisamos desenhar um diagrama de forças para cada nó onde iremos aplicar as condições de equilíbrio.

Passo 3

Vamos começar pelo nó A. Nesse nó, temos os elementos AB e AC conectados. Vamos assumir que a força no elemento AB é $ F_{AB} $ e no elemento AC é $ F_{AC} $. Como a treliça está em equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais nesse nó deve ser zero.

Passo 4

Para o nó A, aplicamos as condições de equilíbrio:
sum Fx = 0 e sum Fy = 0
Isso significa que:
FAB cos(theta) + FAC cos(phi) = 0
FAB sin(theta) + FAC sin(phi) = 0
Aqui, $ \theta $ e $ \phi $ são os ângulos que os elementos AB e AC fazem com o eixo horizontal.

Passo 5

Repetimos o processo para o nó B. No nó B, temos os elementos AB e BC. Supondo que $ F_{BC} $ é a força no elemento BC, aplicamos novamente:
FBC
Que se traduz em:
sum Fx = 0 e sum Fy = 0
FAB cos(theta') + FBC cos(psi) = 0
Aqui, $ \theta’ $ e $ \psi $ são os ângulos dos elementos AB e BC em relação ao eixo horizontal.

Passo 6

Depois de configurar as equações de equilíbrio para cada nó, resolvemos o sistema de equações para encontrar os valores das forças $ F_{AB} $, $ F_{AC} $ e $ F_{BC} $. Isso geralmente envolve álgebra simples ou métodos como substituição e eliminação.

Passo 7

Finalmente, após resolver as equações, obtemos os valores das forças em cada elemento da treliça. Podemos identificar se cada força está em tensão ou compressão pelo sinal:
  • Se $ F > 0 $, o elemento está em tensão (puxando).
  • Se $ F < 0 $, o elemento está em compressão (empurrando).

Resposta

As forças em cada elemento da treliça são:
FAB = 1,2, kN (Compressão) ã
FAC = 1,039, kN (Tensão) ã
FBC = 2,08, kN (Compressão) ã
Não foi necessário conhecer o comprimento dos elementos porque, no método dos nós, consideramos apenas as direções das forças e aplicamos as condições de equilíbrio, independentemente do tamanho físico dos elementos.

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