Para viga engastada em balanço, carregamento triangular distribuído e seção retangular prismática constante, obtenha: b) a deflexão (deslocamento) na extremidade livre
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma viga engastada em balanço, ou seja, fixada em uma extremidade e livre na outra. Essa viga está submetida a um carregamento distribuído que varia de forma triangular. Nosso objetivo aqui é encontrar a deflexão, ou seja, o deslocamento, na extremidade livre dessa viga. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais e fórmulas de deflexão para vigas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação: uma viga fixa em um ponto e livre na outra, com uma carga que aumenta de zero na extremidade livre até um valor máximo na base da viga. Como a carga varia linearmente, chamamos de carregamento triangular.
Passo 3
Para calcular a deflexão, usamos a fórmula geral que relaciona a rigidez da viga, o tipo de carregamento e as dimensões da viga. A deflexão máxima ocorre na extremidade livre e depende do módulo de elasticidade do material, do momento de inércia da seção transversal e do comprimento da viga.
Passo 4
Vamos definir os parâmetros necessários:
-
: Módulo de elasticidade do material da viga. -
: Momento de inércia da seção transversal da viga. -
: Comprimento da viga. -
: Função que descreve a carga distribuída ao longo da viga. No caso do carregamento triangular, , onde é a carga máxima na base da viga.
Passo 5
A deflexão
na extremidade livre pode ser obtida integrando a equação da curva elástica da viga:
onde
é o momento fletor na posição
ao longo da viga.
Passo 6
No caso de carregamento triangular, o momento fletor varia com o quadrado da distância
. Portanto, podemos expressar
como:
Passo 7
Substituindo
na equação da deflexão, temos:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Calculando a integral:
Passo 10
Substituindo os resultados da integral:
Resposta
A deflexão na extremidade livre da viga é: