Determine a força resultante que o óleo exerce sobre a superficie semicircular AB . O tanque tem uma largura de 3 m . Considere a densidade do óleo ρόleo =900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado (curto) nos dá as seguintes informações explícitas:
  • A largura do tanque (comprimento perpendicular ao plano da superfície) é 3\\ \mathrm{m}.
  • A densidade do óleo é \rho_{\text{oil}}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A superfície sobre a qual se quer a força resultante é uma superfície semicircular AB.
O enunciado NÃO especifica informação essencial para calcular numericamente a força:
  • não foi dado o raio R da semicircunferência;
  • não foi informada a orientação da superfície (a semicircunferência está num plano vertical ou horizontal? a base/diâmetro está na superfície livre do líquido ou enterrada a certa profundidade?);
  • não foi dada a posição vertical da superfície em relação à superfície livre (profundidade do ponto A ou do centro);
  • não foi dada a aceleração da gravidade (assume-se normalmente g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, mas é algo que esclareço abaixo).
Como estas informações são necessárias para um valor numérico, NÃO é possível fornecer um único valor numérico final sem essas informações. A seguir explico a teoria necessária, apresento as fórmulas gerais e mostro o caso típico (mais comum em exercícios) em que a semicircunferência tem o diâmetro coincidente com a superfície livre — assim você poderá ver exatamente o que fazer quando tiver o raio e a posição.

Passo 2

Breve revisão física e fórmula básica de pressão hidrostática (aquela que sempre aparece nas provas).
  • A pressão em um ponto do líquido à profundidade vertical y (medida a partir da superfície livre, para baixo) é
p(y)=\rho\,g\,y,
onde \rho é a densidade do líquido (aqui \rho_{\text{oil}}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}) e g é a aceleração da gravidade (vou assumir g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, a menos que o enunciado peça outro valor).
  • A força diferencial que age num elemento de área dA é
d\mathbf{F}=p(y)\,dA\,\mathbf{n},
onde \mathbf{n} é a direção normal à superfície naquele elemento. Para calcular a força resultante sobre uma superfície curva, é prático decompor a força resultante em duas componentes: horizontal \mathbf{F}_H e vertical \mathbf{F}_V. A grande vantagem dessa decomposição é que cada componente pode ser calculada por uma regra simples.

Passo 3

Regras úteis para superfícies curvas (fórmulas que você deve decorar e saber aplicar)
  1. Componente horizontal da força sobre uma superfície curva:
  • A componente horizontal tem intensidade igual à força hidrostática sobre a projeção vertical da superfície (ou seja, trata-se da força sobre a “sombra” da superfície num plano vertical). Em prática:
F_H = \rho\,g\,\bar{y}_v\,A_{v},
onde A_{v} é a área da projeção vertical da superfície e \bar{y}_v é a profundidade do centróide dessa projeção (distância média vertical do centróide até a superfície livre). Para uma superfície plana vertical isso reduz à fórmula usual F=\rho g y_c A.
  1. Componente vertical da força sobre uma superfície curva:
  • A componente vertical é igual ao peso do fluido diretamente sobre a superfície (ou seja, ao peso do volume de líquido contido entre a superfície curva e a superfície livre). Em forma:
F_V = \rho\,g\,V,
onde V é o volume do fluido acima da superfície curva (volume formado pela projeção horizontal da superfície multiplicada pela largura, quando aplicável). Outra forma de ver: F_V é a força hidrostática sobre a projeção horizontal da superfície (a “sombra” sobre um plano horizontal).
  1. Força resultante e direção:
  • A força resultante tem intensidade
F_R=\sqrt{F_H^{2}+F_V^{2}},
e a direção (ângulo \theta abaixo da horizontal, por exemplo) satisfaz
\tan\theta=\frac{F_V}{F_H}.
Estas regras são muito usadas em provas: calcular F_H pela projeção vertical, F_V como peso do volume acima da superfície, em seguida obter F_R.

Passo 4

Aplicando as regras ao caso de uma superfície semicircular — preparo das expressões gerais que você vai usar
Vou dar as expressões para o caso mais comum em exercícios didáticos: a semicircunferência está num plano vertical e o diâmetro (a parte reta) coincide com a superfície livre do líquido (isto é, a semicircular “tampa” fica voltada para baixo, formando um meio círculo submerso cujo lado reto está na superfície). Essa configuração é muito frequente: facilita muito as integrais e ilustra bem as regras.
Definições geométricas (os símbolos que vamos usar):
  • R = raio da semicircunferência (falta no enunciado).
  • Largura do tanque (medida perpendicular ao plano da semicircunferência): b=3\\ \mathrm{m} (dado).
  • Área da semicircunferência:
A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2}.
  • Profundidade do centróide da semicircunferência (medida a partir da superfície livre): se o diâmetro está na superfície livre, o centróide da área semicircular encontra-se a uma distância (medida a partir do diâmetro, para baixo)
\bar{y}_{\text{rel}}=\frac{4R}{3\pi}.
Assim, a profundidade do centróide (a partir da superfície livre) é
\bar{y}=\frac{4R}{3\pi}.

Passo 5

Cálculo da componente horizontal F_H no caso “diâmetro na superfície livre”
  • A projeção vertical da semicircunferência numa direção normal ao plano (para uma superfície plana vertical, a projeção vertical é a própria semicircunferência), assim A_{v}=A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2}.
  • A profundidade do centróide da projeção é \bar{y} acima. Então, pela fórmula da componente horizontal:
F_H=\rho_{\text{oil}}\,g\,\bar{y}\,A = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\frac{4R}{3\pi}\right)\left(\frac{1}{2}\pi R^{2}\right).
Simplificando:
F_H=\rho_{\text{oil}}\,g\left(\frac{4R}{3\pi}\right)\left(\frac{1}{2}\pi R^{2}\right) = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\frac{4}{6}\right)R^{3} = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\frac{2}{3}\right)R^{3}.
Observação: esta é a força sobre a área de uma única face semicircular; como o tanque tem largura b (comprimento para fora do plano), devemos multiplicar por b sempre que estivermos convertendo área em volume ou levando em conta a largura. No caso de F_H a área já é a área da seção (por unidade de largura), então se a área anterior estava em m^2 por unidade de largura, precisamos multiplicar por b. Para ter tudo em termos de valores reais com a largura b, escrevemos
F_H = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\frac{2}{3}\right)R^{3}\,b.
(Isto dá força em newtons.)

Passo 6

Cálculo da componente vertical F_V no caso “diâmetro na superfície livre”
  • Quando o diâmetro está na superfície livre, o volume de líquido acima da superfície curva é simplesmente o volume do meio disco de raio R e espessura b:
V = A \cdot b = \left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\,b.
  • Assim, a componente vertical (peso desse volume) é
F_V = \rho_{\text{oil}}\,g\,V = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\,b.

Passo 7

Força resultante e direção (a partir das componentes)
  • Intensidade:
F_R = \sqrt{F_H^{2}+F_V^{2}} = \sqrt{\biggl(\rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{2}{3}\right)R^{3}\,b\biggr)^{2} + \biggl(\rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\,b\biggr)^{2}}.
  • Direção (ângulo \theta abaixo da horizontal):
\tan\theta=\frac{F_V}{F_H} =\frac{\rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\,b} {\rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{2}{3}\right)R^{3}\,b} =\frac{\tfrac{1}{2}\pi R^{2}}{\tfrac{2}{3}R^{3}} =\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{1}{R}.
Ou seja,
\theta=\arctan\!\left(\frac{3\pi}{4R}\right).
Repare que em \tan\theta os fatores \rho_{\text{oil}},g,b cancelam: a direção depende apenas de R.

Passo 8

Resumo prático do que você precisa fornecer para obter um valor numérico
Para eu dar um número final para F_R (em newtons), preciso que esteja claro qual a configuração. Se a sua figura for a que eu tratei (semicírculo em plano vertical com o diâmetro na superfície livre), então forneça apenas o raio R. Com R eu calculo:
F_H = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{2}{3}\right)R^{3}\,b, \qquad F_V = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\,b, \qquad F_R=\sqrt{F_H^{2}+F_V^{2}}.
Se a sua configuração for diferente (por exemplo, a semicircunferência orientada de outra forma, ou o diâmetro a uma profundidade h abaixo da superfície livre), então preciso saber:
  • o raio R;
  • a profundidade do diâmetro ou a profundidade de algum ponto de referência (para calcular \bar{y});
  • a orientação (plano vertical ou horizontal).
    Com isso eu aplico as fórmulas gerais do Passo 3 e faço as integrais necessárias (mas é o mesmo passo-a-passo).

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico final porque o enunciado não dá o raio R nem a posição/orientação da semicircunferência em relação à superfície livre. \
Se a semicircunferência estiver num plano vertical com o diâmetro coincidente com a superfície livre, a força resultante (para largura b=3\\ \mathrm{m}, \rho_{\text{oil}}=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}) é dada por:
F_H = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{2}{3}\right)R^{3}\,b,
F_V = \rho_{\text{oil}}\,g\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\,b,
F_R = \sqrt{F_H^{2}+F_V^{2}},
com direção \theta (abaixo da horizontal)
\theta=\arctan\!\left(\frac{3\pi}{4R}\right).

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