Determine a força resultante que o óleo exerce sobre a superficie semicircular AB . O tanque tem uma largura de 3 m . Considere a densidade do óleo ρόleo
.
Passo 1
O enunciado (curto) nos dá as seguintes informações explícitas:
- A largura do tanque (comprimento perpendicular ao plano da superfície) é
. - A densidade do óleo é
. - A superfície sobre a qual se quer a força resultante é uma superfície semicircular
.
O enunciado NÃO especifica informação essencial para calcular numericamente a força:
- não foi dado o raio
da semicircunferência; - não foi informada a orientação da superfície (a semicircunferência está num plano vertical ou horizontal? a base/diâmetro está na superfície livre do líquido ou enterrada a certa profundidade?);
- não foi dada a posição vertical da superfície em relação à superfície livre (profundidade do ponto
ou do centro); - não foi dada a aceleração da gravidade (assume-se normalmente
, mas é algo que esclareço abaixo).
Como estas informações são necessárias para um valor numérico, NÃO é possível fornecer um único valor numérico final sem essas informações. A seguir explico a teoria necessária, apresento as fórmulas gerais e mostro o caso típico (mais comum em exercícios) em que a semicircunferência tem o diâmetro coincidente com a superfície livre — assim você poderá ver exatamente o que fazer quando tiver o raio e a posição.
Passo 2
Breve revisão física e fórmula básica de pressão hidrostática (aquela que sempre aparece nas provas).
- A pressão em um ponto do líquido à profundidade vertical
(medida a partir da superfície livre, para baixo) é
onde
é a densidade do líquido (aqui
) e
é a aceleração da gravidade (vou assumir
, a menos que o enunciado peça outro valor).
- A força diferencial que age num elemento de área
é
onde
é a direção normal à superfície naquele elemento. Para calcular a força resultante sobre uma superfície curva, é prático decompor a força resultante em duas componentes: horizontal
e vertical
. A grande vantagem dessa decomposição é que cada componente pode ser calculada por uma regra simples.
Passo 3
Regras úteis para superfícies curvas (fórmulas que você deve decorar e saber aplicar)
- Componente horizontal da força sobre uma superfície curva:
- A componente horizontal tem intensidade igual à força hidrostática sobre a projeção vertical da superfície (ou seja, trata-se da força sobre a “sombra” da superfície num plano vertical). Em prática:
onde
é a área da projeção vertical da superfície e
é a profundidade do centróide dessa projeção (distância média vertical do centróide até a superfície livre). Para uma superfície plana vertical isso reduz à fórmula usual
.
- Componente vertical da força sobre uma superfície curva:
- A componente vertical é igual ao peso do fluido diretamente sobre a superfície (ou seja, ao peso do volume de líquido contido entre a superfície curva e a superfície livre). Em forma:
onde
é o volume do fluido acima da superfície curva (volume formado pela projeção horizontal da superfície multiplicada pela largura, quando aplicável). Outra forma de ver:
é a força hidrostática sobre a projeção horizontal da superfície (a “sombra” sobre um plano horizontal).
- Força resultante e direção:
- A força resultante tem intensidade
e a direção (ângulo
abaixo da horizontal, por exemplo) satisfaz
Estas regras são muito usadas em provas: calcular
pela projeção vertical,
como peso do volume acima da superfície, em seguida obter
.
Passo 4
Aplicando as regras ao caso de uma superfície semicircular — preparo das expressões gerais que você vai usar
Vou dar as expressões para o caso mais comum em exercícios didáticos: a semicircunferência está num plano vertical e o diâmetro (a parte reta) coincide com a superfície livre do líquido (isto é, a semicircular “tampa” fica voltada para baixo, formando um meio círculo submerso cujo lado reto está na superfície). Essa configuração é muito frequente: facilita muito as integrais e ilustra bem as regras.
Vou dar as expressões para o caso mais comum em exercícios didáticos: a semicircunferência está num plano vertical e o diâmetro (a parte reta) coincide com a superfície livre do líquido (isto é, a semicircular “tampa” fica voltada para baixo, formando um meio círculo submerso cujo lado reto está na superfície). Essa configuração é muito frequente: facilita muito as integrais e ilustra bem as regras.
Definições geométricas (os símbolos que vamos usar):
-
= raio da semicircunferência (falta no enunciado). - Largura do tanque (medida perpendicular ao plano da semicircunferência):
(dado). - Área da semicircunferência:
- Profundidade do centróide da semicircunferência (medida a partir da superfície livre): se o diâmetro está na superfície livre, o centróide da área semicircular encontra-se a uma distância (medida a partir do diâmetro, para baixo)
Assim, a profundidade do centróide (a partir da superfície livre) é
Passo 5
Cálculo da componente horizontal
no caso “diâmetro na superfície livre”
- A projeção vertical da semicircunferência numa direção normal ao plano (para uma superfície plana vertical, a projeção vertical é a própria semicircunferência), assim
. - A profundidade do centróide da projeção é
acima. Então, pela fórmula da componente horizontal:
Simplificando:
Observação: esta é a força sobre a área de uma única face semicircular; como o tanque tem largura
(comprimento para fora do plano), devemos multiplicar por
sempre que estivermos convertendo área em volume ou levando em conta a largura. No caso de
a área já é a área da seção (por unidade de largura), então se a área anterior estava em m^2 por unidade de largura, precisamos multiplicar por
. Para ter tudo em termos de valores reais com a largura
, escrevemos
(Isto dá força em newtons.)
Passo 6
Cálculo da componente vertical
no caso “diâmetro na superfície livre”
- Quando o diâmetro está na superfície livre, o volume de líquido acima da superfície curva é simplesmente o volume do meio disco de raio
e espessura :
- Assim, a componente vertical (peso desse volume) é
Passo 7
Força resultante e direção (a partir das componentes)
- Intensidade:
- Direção (ângulo
abaixo da horizontal):
Ou seja,
Repare que em
os fatores
cancelam: a direção depende apenas de
.
Passo 8
Resumo prático do que você precisa fornecer para obter um valor numérico
Para eu dar um número final para (em newtons), preciso que esteja claro qual a configuração. Se a sua figura for a que eu tratei (semicírculo em plano vertical com o diâmetro na superfície livre), então forneça apenas o raio
. Com
eu calculo:
Para eu dar um número final para
Se a sua configuração for diferente (por exemplo, a semicircunferência orientada de outra forma, ou o diâmetro a uma profundidade
abaixo da superfície livre), então preciso saber:
- o raio
; - a profundidade do diâmetro ou a profundidade de algum ponto de referência (para calcular
); - a orientação (plano vertical ou horizontal).
Com isso eu aplico as fórmulas gerais do Passo 3 e faço as integrais necessárias (mas é o mesmo passo-a-passo).
Resposta
Não é possível fornecer um valor numérico final porque o enunciado não dá o raio
nem a posição/orientação da semicircunferência em relação à superfície livre. \
Se a semicircunferência estiver num plano vertical com o diâmetro coincidente com a superfície livre, a força resultante (para largura ,
,
) é dada por:
Se a semicircunferência estiver num plano vertical com o diâmetro coincidente com a superfície livre, a força resultante (para largura
com direção
(abaixo da horizontal)