Ar ambiente na região quiescente escoa a 25^{\circ} \mathrm{C} nos seguintes casos:
I) sobre uma placa horizontal retangular de comprimento 500 mm e área superficial 0,10 \mathrm{~m}^{2} aquecida em sua superfície superior a 80^{\circ} \mathrm{C};
II) em torno de uma placa inclinada resfriada na superficie superior a 10^{\circ} \mathrm{C} com comprimento 500 mcm e com ângulo de inclinação 45^{\circ}.
Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento em ambos os casos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
Dados comuns (ambiente):
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=25^{\circ}\mathrm{C}.
Caso I (placa horizontal):
  • Comprimento da placa: L=500\\ \mathrm{mm}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Área superficial total: A=0{,}10\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura da superfície superior (aquecida): T_{s}=80^{\circ}\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: taxa de transferência de calor por unidade de comprimento (isto é, q' em \mathrm{W/m}).
Observação prática para o Caso I (usarei essa informação mais adiante):
  • A largura efetiva da placa (perpendicular ao comprimento) é \,w=\dfrac{A}{L}=\dfrac{0{,}10}{0{,}5}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Caso II (placa inclinada):
  • Comprimento da placa: L=500\\ \mathrm{mm}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície superior (resfriada): T_{s}=10^{\circ}\mathrm{C}.
  • Ângulo de inclinação: \theta=45^{\circ}.
  • Não foi dada a área ou largura; como o enunciado quer a taxa por unidade de comprimento, irei calcular q' por metro de largura (ou seja, assumir largura unitária 1 m para obter q' em \mathrm{W/m}).
O que se pede em ambos os casos:
  • Calcular q' (taxa de transferência de calor por unidade de comprimento), em \mathrm{W/m}.

Passo 2

Vou explicar a teoria e as fórmulas que vou usar — passo a passo e com intuitividade.
Convecção natural: nos dois casos o escoamento é por convecção natural (fluido em repouso inicialmente, movimento gerado pela diferença de densidade do ar quando aquecido ou resfriado). As grandezas importantes:
  1. Coeficiente de expansão térmica do gás ideal:
  • Para ar podemos aproximar \beta\approx 1/T_{\text{film}} (temperatura absoluta em K).
  1. Número de Grashof (medida da força de flutuabilidade relativa às forças viscosas):
\mathrm{Gr}_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^{3}}{\nu^{2}},
onde
  • g é a gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • \beta é coeficiente de expansão térmica (\mathrm{K}^{-1}),
  • \Delta T = T_{s}-T_{\infty} (pode ser negativo se T_{s}<T_{\infty}; para estimar magnitudes usa-se |\Delta T|),
  • L comprimento característico (aqui usarei L=0{,}5\\ \mathrm{m}),
  • \nu viscosidade cinemática do ar (m^{2}/s).
  1. Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha},
mas nos cálculos práticos eu usarei um valor tabulado aproximado para ar (próximo de 0{,}70 a 0{,}71 no intervalo de temperaturas aqui).
  1. Número de Rayleigh:
\mathrm{Ra}_L=\mathrm{Gr}_L\cdot\mathrm{Pr}.
  1. Nusselt médio e coeficiente de transferência de calor:
  • A partir de uma correlação apropriada obtém-se o Nusselt médio \mathrm{Nu}_L e depois
h=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L},
onde k é a condutividade térmica do ar.
  1. Fluxo por unidade de comprimento:
  • Para uma placa de largura w e por unidade de comprimento L (ou, se calcular por unidade de comprimento perpendicular, usar w correspondente), a potência por unidade de comprimento é
q' = h\,(T_{s}-T_{\infty})\,w.
  • No Caso I usarei w=0{,}20\\ \mathrm{m} (obtida de A/L). No Caso II, como a largura não foi dada, q' será por unidade de largura (isto é, w=1\\ \mathrm{m}).
Escolha das correlações (por que usei estas):
  • Para o Caso I (placa horizontal, superfície superior aquecida): existe uma correlação prática para placas horizontais com superfície aquecida voltada para cima (camada limite estável) que é frequentemente escrita como
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}54\,\mathrm{Ra}_L^{1/4},
válida em uma faixa ampla de \mathrm{Ra}_L (ordens de 10^{5} a 10^{10}, regime laminar/incipiente). Vou usar essa forma porque é simples, adequada e comumente usada para placas horizontais aquecidas voltadas para cima.
  • Para o Caso II (placa inclinada): uma prática comum (quando não há correlação específica da inclinação disponível) é usar a correlação de Churchill–Chu para placa vertical, modificando o efeito da gravidade pela componente ao longo da superfície com \cos\theta. A forma de Churchill–Chu (prática e precisa em grande intervalo) é
\mathrm{Nu}_L = \left[\,0{,}825 + \dfrac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_L^{1/6}}{\left(1 + \left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right)^{8/27}}\,\right]^{2}.
Vou aplicar essa correlação ao \mathrm{Ra} efetivo \mathrm{Ra}_{\text{eff}}=\mathrm{Ra}_L\cos\theta para levar em conta a inclinação \theta=45^{\circ}. (Expliquei a escolha: é uma escolha prática e conservadora para questões de prova quando se pede convecção natural em placas inclinadas.)

Passo 3

Escolha de propriedades do ar e cálculo das temperaturas de filme (valores aproximados de tabela, justificados: uso valores típicos para ar à temperatura média entre T_s e T_{\infty}).
Caso I:
  • T_{f1}=(T_{s}+T_{\infty})/2=(80+25)/2=52{,}5^{\circ}\mathrm{C}=325{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Coeficiente de expansão: \beta_1\approx 1/T_{f1}=1/325{,}65=0{,}00307\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Escolho propriedades aproximadas do ar a T_{f1}:
    • viscosidade cinemática: \nu_{1}=18{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} (valor típico a \sim 50^{\circ}\mathrm{C}),
    • condutividade térmica: k_{1}=0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • Prandtl: \mathrm{Pr}_{1}=0{,}71.
Caso II:
  • T_{f2}=(T_{s}+T_{\infty})/2=(10+25)/2=17{,}5^{\circ}\mathrm{C}=290{,}65\\ \mathrm{K}.
  • \beta_2\approx 1/T_{f2}=1/290{,}65=0{,}00344\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Propriedades aproximadas do ar a T_{f2}:
    • \nu_{2}=15{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},
    • k_{2}=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • \mathrm{Pr}_{2}=0{,}71.
Nota: estes valores são aproximados (pegar tabela numa prova é o ideal). Para problemas de prova com valores dados assim, usar arredondamentos consistentes é aceitável.

Passo 4

Cálculo detalhado do Caso I (placa horizontal aquecida, T_{s}=80^{\circ}\mathrm{C}).
  1. Diferença de temperatura:
\Delta T_{1}=T_{s}-T_{\infty}=80-25=55\\ \mathrm{K}.
  1. Cálculo de \mathrm{Gr}_{L}:
\mathrm{Gr}_{L1}=\frac{g\,\beta_{1}\,\Delta T_{1}\,L^{3}}{\nu_{1}^{2}} = \frac{9{,}81\cdot 0{,}00307\cdot 55\cdot (0{,}5)^{3}}{(18{,}5\times10^{-6})^{2}}.
Faço as contas passo a passo:
  • L^{3}=(0{,}5)^{3}=0{,}125\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Numerador =9{,}81\cdot0{,}00307\cdot55\cdot0{,}125\approx0{,}2070.
  • Denominador =(18{,}5\times10^{-6})^{2}=3{,}4225\times10^{-10}.
    Logo
\mathrm{Gr}_{L1}\approx \frac{0{,}2070}{3{,}4225\times10^{-10}}\approx 6{,}05\times10^{8}.
  1. \mathrm{Ra}_{L1}=\mathrm{Gr}_{L1}\cdot\mathrm{Pr}_{1}\approx 6{,}05\times10^{8}\cdot0{,}71 \approx 4{,}29\times10^{8}.
Verificação de validade: \mathrm{Ra} está na faixa onde a correlação \mathrm{Nu}=0{,}54\,\mathrm{Ra}^{1/4} é usada comumente (ordens 10^{5} 10^{10}).
  1. Nusselt médio por correlação para placa horizontal aquecida voltada para cima:
\mathrm{Nu}_{L1}=0{,}54\,\mathrm{Ra}_{L1}^{1/4}.
Calculo:
  • \mathrm{Ra}_{L1}^{1/4}=(4{,}29\times10^{8})^{1/4}\approx 143{,}5.
  • \mathrm{Nu}_{L1}\approx 0{,}54\cdot143{,}5\approx77{,}5.
  1. Coeficiente convectivo médio h_{1}:
h_{1}=\frac{\mathrm{Nu}_{L1}\,k_{1}}{L}=\frac{77{,}5\cdot0{,}028}{0{,}5}\approx4{,}34\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  1. Potência por unidade de comprimento q'_{1}:
q'_{1}=h_{1}\,\Delta T_{1}\,w = 4{,}34\cdot55\cdot0{,}20 \approx 47{,}7\\ \mathrm{W/m}.
Interpretação: como T_{s}>T_{\infty}, o fluxo é do corpo para o ar; aqui estou dando o módulo da taxa por unidade de comprimento.

Passo 5

Cálculo detalhado do Caso II (placa inclinada a \theta=45^{\circ}, T_{s}=10^{\circ}\mathrm{C}).
  1. Diferença de temperatura (módulo):
\Delta T_{2}=T_{s}-T_{\infty}=10-25=-15\\ \mathrm{K}\quad\Rightarrow\quad |\Delta T_{2}|=15\\ \mathrm{K}.
  1. Cálculo de \mathrm{Gr}_{L}:
\mathrm{Gr}_{L2}=\frac{g\,\beta_{2}\,( -15)\,L^{3}}{\nu_{2}^{2}}.
Usarei |\Delta T| para magnitude do Grashof (o sinal só indica direção do fluxo). Fazendo os cálculos:
  • Numerador =9{,}81\cdot0{,}00344\cdot15\cdot0{,}125\approx0{,}06326.
  • Denominador =(15{,}3\times10^{-6})^{2}=2{,}3409\times10^{-10}.
    Logo
\mathrm{Gr}_{L2}\approx\frac{0{,}06326}{2{,}3409\times10^{-10}}\approx2{,}70\times10^{8}.
  1. \mathrm{Ra}_{L2}=\mathrm{Gr}_{L2}\cdot\mathrm{Pr}_{2}\approx 2{,}70\times10^{8}\cdot0{,}71 \approx1{,}92\times10^{8}.
  2. Ajuste para inclinação: uso \mathrm{Ra}_{\text{eff}}=\mathrm{Ra}_{L2}\cos\theta com \theta=45^{\circ} e \cos45^{\circ}=0{,}7071:
\mathrm{Ra}_{\text{eff}}=1{,}92\times10^{8}\cdot0{,}7071\approx1{,}36\times10^{8}.
(Comentário: a modificação por \cos\theta reduz a componente efetiva de flutuabilidade ao longo da superfície; é uma aproximação prática.)
  1. Uso da correlação de Churchill–Chu para a Nusselt média:
\mathrm{Nu}_{L2}=\left[\,0{,}825+\frac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_{\text{eff}}^{1/6}}{\left(1+\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}_{2}}\right)^{9/16}\right)^{8/27}}\,\right]^{2}.
Cálculo por partes:
  • \left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}_{2}}\right)^{9/16}=\left(\dfrac{0{,}492}{0{,}71}\right)^{9/16}\approx0{,}693^{0{,}5625}\approx0{,}814.
  • Denominador interno: 1+0{,}814=1{,}814. Elevando à 8/27 ( \approx0{,}2963) dá \approx1{,}193.
  • \mathrm{Ra}_{\text{eff}}^{1/6}=(1{,}36\times10^{8})^{1/6}\approx22{,}64.
  • Numerador da fração: 0{,}387\cdot22{,}64\approx8{,}76.
  • Fração completa: 8{,}76/1{,}193\approx7{,}35.
  • Soma interna: 0{,}825+7{,}35=8{,}175.
  • Finalmente \mathrm{Nu}_{L2}\approx(8{,}175)^{2}\approx66{,}8.
  1. Coeficiente convectivo médio h_{2}:
h_{2}=\frac{\mathrm{Nu}_{L2}\,k_{2}}{L}=\frac{66{,}8\cdot0{,}026}{0{,}5}\approx3{,}47\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  1. Potência por unidade de comprimento q'_{2} (por metro de largura, já que largura não foi fornecida):
q'_{2}=h_{2}\,|\Delta T_{2}| \cdot 1\\ \mathrm{m}=3{,}47\cdot15\approx52{,}1\\ \mathrm{W/m}.
Interpretação: como T_{s}<T_{\infty}, o fluxo de calor é do ar para a placa; aqui dei o módulo q'_{2}.

Resposta

I) q'_{1}=47{,}7\\ \mathrm{W/m}
II) q'_{2}=52{,}1\\ \mathrm{W/m}

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