Ar ambiente na região quiescente escoa a 25^{\circ} \mathrm{C} nos seguintes casos:
I) sobre uma placa horizontal retangular de comprimento 500 mm e área superficial 0,10 \mathrm{~m}^{2} aquecida em sua superfície superior a 80^{\circ} \mathrm{C};
II) em torno de uma placa inclinada resfriada na superficie superior a 10^{\circ} \mathrm{C} com comprimento 500 mcm e com ângulo de inclinação 45^{\circ}.
Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento em ambos os casos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
Dados comuns (ambiente):
Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=25^{\circ}\mathrm{C}.
Caso I (placa horizontal):
Comprimento da placa: L=500\\ \mathrm{mm}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
Área superficial total: A=0{,}10\\ \mathrm{m}^{2}.
Temperatura da superfície superior (aquecida): T_{s}=80^{\circ}\mathrm{C}.
O enunciado pede: taxa de transferência de calor por unidade de comprimento (isto é, q' em \mathrm{W/m}).
Observação prática para o Caso I (usarei essa informação mais adiante):
A largura efetiva da placa (perpendicular ao comprimento) é \,w=\dfrac{A}{L}=\dfrac{0{,}10}{0{,}5}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Caso II (placa inclinada):
Comprimento da placa: L=500\\ \mathrm{mm}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
Temperatura da superfície superior (resfriada): T_{s}=10^{\circ}\mathrm{C}.
Ângulo de inclinação: \theta=45^{\circ}.
Não foi dada a área ou largura; como o enunciado quer a taxa por unidade de comprimento, irei calcular q' por metro de largura (ou seja, assumir largura unitária 1 m para obter q' em \mathrm{W/m}).
O que se pede em ambos os casos:
Calcular q' (taxa de transferência de calor por unidade de comprimento), em \mathrm{W/m}.
Passo 2
Vou explicar a teoria e as fórmulas que vou usar — passo a passo e com intuitividade.
Convecção natural: nos dois casos o escoamento é por convecção natural (fluido em repouso inicialmente, movimento gerado pela diferença de densidade do ar quando aquecido ou resfriado). As grandezas importantes:
Coeficiente de expansão térmica do gás ideal:
Para ar podemos aproximar \beta\approx 1/T_{\text{film}} (temperatura absoluta em K).
Número de Grashof (medida da força de flutuabilidade relativa às forças viscosas):
\beta é coeficiente de expansão térmica (\mathrm{K}^{-1}),
\Delta T = T_{s}-T_{\infty} (pode ser negativo se T_{s}<T_{\infty}; para estimar magnitudes usa-se |\Delta T|),
L comprimento característico (aqui usarei L=0{,}5\\ \mathrm{m}),
\nu viscosidade cinemática do ar (m^{2}/s).
Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha},
mas nos cálculos práticos eu usarei um valor tabulado aproximado para ar (próximo de 0{,}70 a 0{,}71 no intervalo de temperaturas aqui).
Número de Rayleigh:
\mathrm{Ra}_L=\mathrm{Gr}_L\cdot\mathrm{Pr}.
Nusselt médio e coeficiente de transferência de calor:
A partir de uma correlação apropriada obtém-se o Nusselt médio \mathrm{Nu}_L e depois
h=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L},
onde k é a condutividade térmica do ar.
Fluxo por unidade de comprimento:
Para uma placa de largura w e por unidade de comprimento L (ou, se calcular por unidade de comprimento perpendicular, usar w correspondente), a potência por unidade de comprimento é
q' = h\,(T_{s}-T_{\infty})\,w.
No Caso I usarei w=0{,}20\\ \mathrm{m} (obtida de A/L). No Caso II, como a largura não foi dada, q' será por unidade de largura (isto é, w=1\\ \mathrm{m}).
Escolha das correlações (por que usei estas):
Para o Caso I (placa horizontal, superfície superior aquecida): existe uma correlação prática para placas horizontais com superfície aquecida voltada para cima (camada limite estável) que é frequentemente escrita como
válida em uma faixa ampla de \mathrm{Ra}_L (ordens de 10^{5} a 10^{10}, regime laminar/incipiente). Vou usar essa forma porque é simples, adequada e comumente usada para placas horizontais aquecidas voltadas para cima.
Para o Caso II (placa inclinada): uma prática comum (quando não há correlação específica da inclinação disponível) é usar a correlação de Churchill–Chu para placa vertical, modificando o efeito da gravidade pela componente ao longo da superfície com \cos\theta. A forma de Churchill–Chu (prática e precisa em grande intervalo) é
Vou aplicar essa correlação ao \mathrm{Ra} efetivo \mathrm{Ra}_{\text{eff}}=\mathrm{Ra}_L\cos\theta para levar em conta a inclinação \theta=45^{\circ}. (Expliquei a escolha: é uma escolha prática e conservadora para questões de prova quando se pede convecção natural em placas inclinadas.)
Passo 3
Escolha de propriedades do ar e cálculo das temperaturas de filme (valores aproximados de tabela, justificados: uso valores típicos para ar à temperatura média entre T_s e T_{\infty}).
Nota: estes valores são aproximados (pegar tabela numa prova é o ideal). Para problemas de prova com valores dados assim, usar arredondamentos consistentes é aceitável.
Passo 4
Cálculo detalhado do Caso I (placa horizontal aquecida, T_{s}=80^{\circ}\mathrm{C}).