b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação linear com coeficientes constantes
com
. Para resolver, iremos usar o método dos coeficientes a determinar (método de “undetermined coefficients”), que exige (1) encontrar as raízes da equação característica, (2) ver se há ressonância com o termo forçante e (3) propor uma forma adequada para a solução particular.
Passo 2
Equação característica associada à parte homogênea:
Logo a solução geral da homogênea é
onde definimos
.
Passo 3
Observamos que o forçamento é
,
ou seja, com
e
(polinômio de grau 1). Como
já aparece na solução homogênea, há ressonância simples (multiplicidade
do par
). Pelo método, devemos multiplicar o ansatz habitual por um fator
.
ou seja,
Passo 4
O ansatz para a solução particular terá a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Resposta
A forma adequada para a solução particular é