b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=t e^{-t} \operatorname{sen}(\sqrt{\alpha-1} t)
para \alpha>1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação linear com coeficientes constantes
y'' + 2y' + \alpha\,y = t\,e^{-t}\,\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr),
com \alpha>1. Para resolver, iremos usar o método dos coeficientes a determinar (método de “undetermined coefficients”), que exige (1) encontrar as raízes da equação característica, (2) ver se há ressonância com o termo forçante e (3) propor uma forma adequada para a solução particular.

Passo 2

Equação característica associada à parte homogênea:
r^{2} + 2r + \alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -1 \pm i\,\sqrt{\alpha-1}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t) = e^{-t}\Bigl(C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t)\Bigr),
onde definimos \omega = \sqrt{\alpha-1}.

Passo 3

Observamos que o forçamento é \displaystyle t\,e^{-t}\sin(\omega t),
ou seja, P(t)e^{at}\sin(\omega t) com a=-1 e P(t)=t (polinômio de grau 1). Como e^{-t}\sin(\omega t) já aparece na solução homogênea, há ressonância simples (multiplicidade s=1 do par r=-1\pm i\omega). Pelo método, devemos multiplicar o ansatz habitual por um fator t^{s}=t.

Passo 4

O ansatz para a solução particular terá a forma
y_{p}(t) = t^{1}\,e^{-t}\Bigl[\bigl(A\,t + B\bigr)\cos(\omega t) +\bigl(C\,t + D\bigr)\sin(\omega t)\Bigr],
onde \omega = \sqrt{\alpha-1} e A,B,C,D são constantes a determinar.

Resposta

A forma adequada para a solução particular é
y_{p}(t) = t\,e^{-t}\Bigl[\bigl(A\,t + B\bigr)\cos\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr) +\bigl(C\,t + D\bigr)\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr)\Bigr].

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