c) y^{\prime \prime}+y=\operatorname{cossec} t.
d) y^{\prime \prime}-y=\left(1+e^{-t}\right)^{-2}.
e) y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{sen}(2 t)+t
f) y^{\prime \prime}+2 y=e^{t}+2.
22. Resolva os PVI’s:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 \operatorname{sen}(3 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)\r
\;y'' + 2y' + y = 2\sin(3t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.\r
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo 2\sin(3t). Vamos usar método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e, em seguida, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea\r
\;y_h'' + 2y_h' + y_h = 0.\r
A equação característica é\r
\;r^2 + 2r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+1)^2 = 0\r
logo r=-1 é raiz dupla e\r
\;y_h(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para\r
\;y'' + 2y' + y = 2\sin(3t).\r
Como o segundo membro é combinação de \sin(3t) e \cos(3t), propomos\r
\;y_p(t)=A\sin(3t)+B\cos(3t).\r
Calculamos as derivadas:\r
\;y_p' = 3A\cos(3t)-3B\sin(3t),
\;y_p'' = -9A\sin(3t)-9B\cos(3t).

Passo 4

Substituindo em y''+2y'+y\) e igualando a \(2\sin(3t)\):\r \[\begin{aligned} (-9A\sin3t -9B\cos3t) &+ 2\bigl(3A\cos3t -3B\sin3t\bigr) + (A\sin3t + B\cos3t) \\\ &= (-9A -6B + A)\sin3t +(-9B +6A + B)\cos3t \\\ &= (-8A -6B)\sin3t + (6A -8B)\cos3t = 2\sin3t. \end{aligned}
Isso gera o sistema\r
\begin{cases} -8A -6B = 2,\\\\ 6A -8B = 0. \end{cases}\r
Da segunda equação vem (6A=8B;\Rightarrow;B=\tfrac{3}{4}A]. Substituindo na primeira:\r
-8A -6\Bigl(\tfrac{3}{4}A\Bigr)=2 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{25}{2}A=2 \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac{4}{25},
B=\tfrac{3}{4}\,A=-\tfrac{3}{25}.
Portanto\r
\;y_p(t) = -\tfrac{4}{25}\sin(3t)\;-\;\tfrac{3}{25}\cos(3t).

Passo 5

A solução geral do PVI é\r
\;y(t) = y_h(t) + y_p(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t} -\tfrac{4}{25}\sin(3t) -\tfrac{3}{25}\cos(3t).

Passo 6

Usamos as condições iniciais para determinar C_1,C_2.\r
Em t=0:\r
y(0)=C_1 -\tfrac{3}{25}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\tfrac{3}{25}.
Agora a derivada:\r
y'(t)=e^{-t}(C_2 -C_1 -C_2t) -\tfrac{12}{25}\cos(3t) +\tfrac{9}{25}\sin(3t).
Em t=0:\r
y'(0)= (C_2 - C_1) - \tfrac{12}{25}=0 \;\Longrightarrow\; C_2 - \tfrac{3}{25} = \tfrac{12}{25} \;\Longrightarrow\; C_2 = \tfrac{15}{25} = \tfrac{3}{5}.

Resposta

\boxed{ y(t)=\bigl(\tfrac{3}{25} + \tfrac{3}{5}\,t\bigr)e^{-t} -\tfrac{4}{25}\sin(3t) -\tfrac{3}{25}\cos(3t). }

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