c) y^{\prime \prime}+y=\operatorname{cossec} t.
d) y^{\prime \prime}-y=\left(1+e^{-t}\right)^{-2}.
e) y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{sen}(2 t)+t
f) y^{\prime \prime}+2 y=e^{t}+2.
22. Resolva os PVI’s: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 \operatorname{sen}(3 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)\r
\;y'' + 2y' + y = 2\sin(3t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.\r
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo 2\sin(3t). Vamos usar método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular e, em seguida, aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea\r
Da segunda equação vem (6A=8B;\Rightarrow;B=\tfrac{3}{4}A]. Substituindo na primeira:\r -8A -6\Bigl(\tfrac{3}{4}A\Bigr)=2 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{25}{2}A=2 \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac{4}{25},