Determine a forma adequada de Y(t) para se usar o método dos coeficientes indeterminados, sem calcular os coeficientes.
y^{\prime \prime}+y=t(1+\sin t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+y=t(1+\sin t)
e pede apenas determinar a forma adequada de Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados, sem calcular os coeficientes. As informações relevantes são:
  • A parte direita é t(1+\sin t)=t + t\sin t.
  • Quero um candidato Y(t) que seja soma de termos que cubram both t e t\sin t, ajustado por possíveis ressonâncias com a solução homogênea.

Passo 2

Vou achar a solução geral da homogênea associada para detectar ressonâncias. A equação homogênea é
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Portanto a solução homogênea é
y_h=C_1\cos t + C_2\sin t.
Isto significa que termos envolvendo \cos t ou \sin t na parte direita são ressonantes (pois correspondem às soluções homogêneas).

Passo 3

Pelo princípio da superposição (linearidade), trato separadamente as duas parcelas da forçante:
t \quad\text{e}\quad t\sin t,
e somo os candidatos particulares correspondentes.

Passo 4

Para a parcela polinomial t: é um polinômio de grau 1. A regra do método diz que um candidato para um polinômio de grau m é um polinômio genérico de grau m. Então um candidato inicial para t é
Y_1(t)=a t + b,
onde a e b são constantes a determinar. Como y_h não contém polinômios, não há ressonância aqui e não multiplicamos por t.

Passo 5

Para a parcela t\sin t: é da forma P_1(t)\sin t com P_1 polinômio de grau 1. A regra geral para termos P_m(t)\cos(\beta t) ou P_m(t)\sin(\beta t) é:
  • primeiro tomar um candidato base (\text{polinômio de grau }m)\cos(\beta t)+(\text{polinômio de grau }m)\sin(\beta t)ôô;
  • se i\beta (ou -i\beta) for raiz da característica com multiplicidade s, multiplicar esse candidato por t^s.
Aqui \beta=1 e as raízes \pm i aparecem na homogênea com multiplicidade 1. Então s=1. O candidato base para P_1(t)\sin t seria
(\tilde A t+\tilde B)\cos t + (\tilde C t+\tilde D)\sin t.
Devido à ressonância (porque \cos t e \sin t estão na homogênea), multiplico todo esse candidato por t. Assim o candidato definitivo para a parcela t\sin t fica
Y_2(t)=t\big((\tilde A t+\tilde B)\cos t + (\tilde C t+\tilde D)\sin t\big).
Desenvolvendo:
Y_2(t)=(\tilde A t^2+\tilde B t)\cos t + (\tilde C t^2+\tilde D t)\sin t,
onde \tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D são constantes a determinar.

Passo 6

Somando os candidatos para cada parcela pela linearidade, o candidato total Y(t) é
Y(t)=Y_1(t)+Y_2(t)=a t + b + (\tilde A t^2+\tilde B t)\cos t + (\tilde C t^2+\tilde D t)\sin t,
com a,b,\tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D constantes a determinar substituindo em y''+y (não pedido aqui). Para simplificar notação, posso renomear as constantes e escrever a forma mais compacta.

Resposta

Y(t)=a t + b + (c t^2 + d t)\cos t + (e t^2 + f t)\sin t

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