Determine a forma adequada de
para se usar o método dos coeficientes indeterminados, sem calcular os coeficientes.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede apenas determinar a forma adequada de
para usar o método dos coeficientes indeterminados, sem calcular os coeficientes. As informações relevantes são:
- A parte direita é
. - Quero um candidato
que seja soma de termos que cubram both e , ajustado por possíveis ressonâncias com a solução homogênea.
Passo 2
Vou achar a solução geral da homogênea associada para detectar ressonâncias. A equação homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Portanto a solução homogênea é
Isto significa que termos envolvendo
ou
na parte direita são ressonantes (pois correspondem às soluções homogêneas).
Passo 3
Pelo princípio da superposição (linearidade), trato separadamente as duas parcelas da forçante:
e somo os candidatos particulares correspondentes.
Passo 4
Para a parcela polinomial
: é um polinômio de grau
. A regra do método diz que um candidato para um polinômio de grau
é um polinômio genérico de grau
. Então um candidato inicial para
é
onde
e
são constantes a determinar. Como
não contém polinômios, não há ressonância aqui e não multiplicamos por
.
Passo 5
Para a parcela
: é da forma
com
polinômio de grau
. A regra geral para termos
ou
é:
- primeiro tomar um candidato base
; - se
(ou ) for raiz da característica com multiplicidade , multiplicar esse candidato por .
Aqui
e as raízes
aparecem na homogênea com multiplicidade
. Então
. O candidato base para
seria
Devido à ressonância (porque
e
estão na homogênea), multiplico todo esse candidato por
. Assim o candidato definitivo para a parcela
fica
Desenvolvendo:
onde
são constantes a determinar.
Passo 6
Somando os candidatos para cada parcela pela linearidade, o candidato total
é
com
constantes a determinar substituindo em
(não pedido aqui). Para simplificar notação, posso renomear as constantes e escrever a forma mais compacta.