Determine a forma canônica das funções quadráticas. Também indique o domínio, a imagem, os zeros e o esboço do gráfico de cada item explicitando as interseções dos eixos quando houver.
f(x)=x^{2}-2 x+5

Passo 1

O enunciado é curto e pede várias coisas sobre a função quadrática
f(x)=x^{2}-2x+5.
Vou listar claramente o que é pedido e quais informações temos:
  • Pedido principal: determinar a forma canônica (ou forma vértice) da função.
  • Outros pedidos: indicar o domínio, a imagem (conjunto-valor), os zeros (raízes) e fazer um esboço do gráfico, explicitando as interseções com os eixos quando houver.
  • Informação dada: a expressão algébrica de f(x). Não há restrições adicionais (coeficientes reais, etc.).
Nenhuma outra informação é necessária: trata-se de uma parábola do tipo ax^{2}+bx+c com a=1, b=-2, c=5.

Passo 2

O que é a “forma canônica” de uma função quadrática e por que queremos ela?
  • A forma canônica (ou forma vértice) é
f(x)=a(x-h)^{2}+k,
onde a é o coeficiente líder (mesmo a da forma padrão), e (h,k) é o vértice da parábola. Essa forma é ótima para identificar rapidamente o vértice, a concavidade e o mínimo/máximo da função.
  • Para chegar nela, usamos o processo chamado “completar o quadrado”. Vou explicar passo a passo como fazer isso.
Passo a passo do completar o quadrado para f(x)=x^{2}-2x+5:
  1. Identificar a, b, c na forma padrão ax^{2}+bx+c. Aqui a=1, b=-2, c=5.
  2. Quando a=1 (caso simples), pegue x^{2}+bx e adicione e subtraia (b/2)^{2} para formar um quadrado perfeito. No nosso caso b=-2, então
\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1.
  1. Reescrever f(x) adicionando e subtraindo 1:
f(x)=x^{2}-2x+5 = (x^{2}-2x+1) -1 +5.
  1. Reconhecer o quadrado perfeito (x^{2}-2x+1)=(x-1)^{2} e simplificar constantes:
f(x)=(x-1)^{2}+4.
Portanto, a forma canônica é
f(x)=(x-1)^{2}+4.

Passo 3

Interpretação da forma canônica e identificação do vértice e da concavidade:
  • Na forma (x-h)^{2}+k com a=1>0, a parábola abre para cima (concavidade para cima) e tem mínimo no vértice.
  • Comparando com (x-1)^{2}+4, temos h=1 e k=4. Logo o vértice é o ponto
(h,k)=(1,4).
  • O eixo de simetria (reta vertical que passa pelo vértice) é
x=h \quad\Rightarrow\quad x=1.
Explicação curta sobre significado: como a=1>0, o valor k=4 é o menor valor que f atinge; a parábola cresce para ambos os lados a partir do vértice.

Passo 4

Determinar o domínio e a imagem (intervalo de valores) usando o que já sabemos:
  • Domínio: uma função polinomial está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
  • Imagem (range): como a parábola abre para cima e tem mínimo no vértice com valor k=4, a imagem é o conjunto de todos os y maiores ou iguais a 4:
\text{Imagem}=[4,\infty).
Vou explicar: a expressão (x-1)^{2} é sempre \ge 0; somando 4 obtemos valores \ge 4, e 4 ocorre exatamente em x=1.

Passo 5

Encontrar os zeros (raízes) da função — usar a fórmula quadrática e o discriminante:
  • Zeros são x tais que f(x)=0. Usamos a equação padrão ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-2, c=5.
  • O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Calculando:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
  • Interpretação do discriminante: quando \Delta<0 não há raízes reais (as raízes são complexas conjugadas). Portanto a função não corta o eixo x; não há zeros reais.
Observação útil para a prova: se o discriminante fosse zero haveria uma raiz dupla (tangência ao eixo x); se positivo haveria duas raízes reais distintas.

Passo 6

Interseções com os eixos e pontos úteis para o esboço:
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0):
f(0)=0^{2}-2\cdot0+5=5.
Logo a parábola atravessa o eixo y em (0,5).
  • Interseção com o eixo x: como vimos no Passo 5, não há zeros reais, então não há interseção com o eixo x.
  • Ponto simétrico útil: como o eixo de simetria é x=1, o ponto simétrico de (0,5) em relação ao eixo é (2,5). Ter os pontos (0,5), (2,5) e o vértice (1,4) é suficiente para esboçar a parábola com boa precisão à mão.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y.
  2. Marque o vértice em (1,4). Esse é o ponto mínimo.
  3. Marque a interseção com o eixo y em (0,5).
  4. Marque o ponto simétrico (2,5).
  5. Trace uma curva suave em forma de U passando por (0,5), descendo até (1,4) e subindo passando por (2,5). Como não há interseções com o eixo x, a parábola fica totalmente acima do eixo x.
  6. Indique a reta de simetria x=1 se quiser enfatizar.
Dica prática: desenhar o vértice e dois pontos simétricos à sua volta torna o esboço rápido e confiável na prova.

Resposta

Forma canônica: f(x)=(x-1)^{2}+4
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [4,\infty)
Zeros (raízes): nenhuma raiz real ( \Delta=-16<0)
Interseções com eixos / esboço: parcela com vértice em (1,4), abre para cima, interseção com o eixo y em (0,5), não intercepta o eixo x (sem zeros).

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