Determine a forma canônica das funções quadráticas. Também indique o domínio, a imagem, os zeros e o esboço do gráfico de cada item explicitando as interseções dos eixos quando houver.
Passo 1
O enunciado é curto e pede várias coisas sobre a função quadrática
Vou listar claramente o que é pedido e quais informações temos:
- Pedido principal: determinar a forma canônica (ou forma vértice) da função.
- Outros pedidos: indicar o domínio, a imagem (conjunto-valor), os zeros (raízes) e fazer um esboço do gráfico, explicitando as interseções com os eixos quando houver.
- Informação dada: a expressão algébrica de
. Não há restrições adicionais (coeficientes reais, etc.).
Nenhuma outra informação é necessária: trata-se de uma parábola do tipo
com
,
,
.
Passo 2
O que é a “forma canônica” de uma função quadrática e por que queremos ela?
- A forma canônica (ou forma vértice) é
onde
é o coeficiente líder (mesmo
da forma padrão), e
é o vértice da parábola. Essa forma é ótima para identificar rapidamente o vértice, a concavidade e o mínimo/máximo da função.
- Para chegar nela, usamos o processo chamado “completar o quadrado”. Vou explicar passo a passo como fazer isso.
Passo a passo do completar o quadrado para
:
- Identificar
, , na forma padrão . Aqui , , . - Quando
(caso simples), pegue e adicione e subtraia para formar um quadrado perfeito. No nosso caso , então
- Reescrever
adicionando e subtraindo :
- Reconhecer o quadrado perfeito
e simplificar constantes:
Portanto, a forma canônica é
Passo 3
Interpretação da forma canônica e identificação do vértice e da concavidade:
- Na forma
com , a parábola abre para cima (concavidade para cima) e tem mínimo no vértice. - Comparando com
, temos e . Logo o vértice é o ponto
- O eixo de simetria (reta vertical que passa pelo vértice) é
Explicação curta sobre significado: como
, o valor
é o menor valor que
atinge; a parábola cresce para ambos os lados a partir do vértice.
Passo 4
Determinar o domínio e a imagem (intervalo de valores) usando o que já sabemos:
- Domínio: uma função polinomial está definida para todo
. Portanto
- Imagem (range): como a parábola abre para cima e tem mínimo no vértice com valor
, a imagem é o conjunto de todos os maiores ou iguais a :
Vou explicar: a expressão
é sempre
; somando
obtemos valores
, e
ocorre exatamente em
.
Passo 5
Encontrar os zeros (raízes) da função — usar a fórmula quadrática e o discriminante:
- Zeros são
tais que . Usamos a equação padrão com , , . - O discriminante é
. Calculando:
- Interpretação do discriminante: quando
não há raízes reais (as raízes são complexas conjugadas). Portanto a função não corta o eixo ; não há zeros reais.
Observação útil para a prova: se o discriminante fosse zero haveria uma raiz dupla (tangência ao eixo x); se positivo haveria duas raízes reais distintas.
Passo 6
Interseções com os eixos e pontos úteis para o esboço:
- Interseção com o eixo
(colocar ):
Logo a parábola atravessa o eixo
em
.
- Interseção com o eixo
: como vimos no Passo 5, não há zeros reais, então não há interseção com o eixo . - Ponto simétrico útil: como o eixo de simetria é
, o ponto simétrico de em relação ao eixo é . Ter os pontos , e o vértice é suficiente para esboçar a parábola com boa precisão à mão.
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe um sistema de eixos
e . - Marque o vértice em
. Esse é o ponto mínimo. - Marque a interseção com o eixo
em . - Marque o ponto simétrico
. - Trace uma curva suave em forma de U passando por
, descendo até e subindo passando por . Como não há interseções com o eixo , a parábola fica totalmente acima do eixo . - Indique a reta de simetria
se quiser enfatizar.
Dica prática: desenhar o vértice e dois pontos simétricos à sua volta torna o esboço rápido e confiável na prova.
Resposta
Forma canônica:
Domínio:
Imagem:
Zeros (raízes): nenhuma raiz real ( )
Interseções com eixos / esboço: parcela com vértice em , abre para cima, interseção com o eixo
em
, não intercepta o eixo
(sem zeros).
Domínio:
Imagem:
Zeros (raízes): nenhuma raiz real (
Interseções com eixos / esboço: parcela com vértice em