Determine se cada função a seguir é par, ímpar ou nenhum dos dois tipos.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a função
é par, ímpar ou nenhum dos dois tipos.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
definida por . - Pressupõe-se domínio
(todo número real é permitido).
Passo 2
Definições importantes (vou explicar como funcionam e o que significam):
- Uma função é chamada de par se, para todo
no domínio, vale
Geometricamente, funções pares têm simetria em relação ao eixo
(o gráfico é espelhado à esquerda e à direita).
- Uma função é chamada de ímpar se, para todo
no domínio, vale
Geometricamente, funções ímpares têm simetria em relação à origem (rotacionando 180° obtém-se o mesmo gráfico).
Observação: o domínio deve ser simétrico em relação a (ou seja, se
está no domínio,
também) para fazermos esses testes — aqui isso acontece porque o domínio é
.
Observação: o domínio deve ser simétrico em relação a
Passo 3
Estratégia prática para a prova (passo a passo que sempre funciona):
- Calcular explicitamente
. - Comparar
com . Se forem iguais para todo , a função é par. - Se não forem iguais, comparar
com . Se forem iguais para todo , a função é ímpar. - Se nenhum dos dois casos ocorrer, a função é nenhum dos dois.
Passo 4
Calcular
de forma detalhada (não pule etapas):
Agora explicar por que
e
:
-
(qualquer número negativo ao quadrado perde o sinal), -
(mesma ideia, potência par elimina o sinal).
Portanto,
Passo 5
Comparar o resultado com
e com
:
- Observa-se que
portanto a igualdade da definição de função par é satisfeita para todo
. Logo
é par.
- Para reforçar que não é ímpar, note que
e isso é diferente de
(exceto no ponto
). Assim, a condição de função ímpar não vale.
Dica rápida de prova que ajuda em outras questões: potências ímpares de
(
) são funções ímpares; potências pares (
) são funções pares. Soma de funções pares é par; soma de funções ímpares é ímpar; soma de par com ímpar geralmente não é nem par nem ímpar.
Resposta
par