Determine se cada função a seguir é par, ímpar ou nenhum dos dois tipos.
f(x)=x^{2}+x^{4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a função f(x)=x^{2}+x^{4} é par, ímpar ou nenhum dos dois tipos.
Informações dadas:
  • A função é f definida por f(x)=x^{2}+x^{4}.
  • Pressupõe-se domínio \mathbb{R} (todo número real é permitido).

Passo 2

Definições importantes (vou explicar como funcionam e o que significam):
  • Uma função é chamada de par se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x).
Geometricamente, funções pares têm simetria em relação ao eixo y (o gráfico é espelhado à esquerda e à direita).
  • Uma função é chamada de ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, funções ímpares têm simetria em relação à origem (rotacionando 180° obtém-se o mesmo gráfico).
Observação: o domínio deve ser simétrico em relação a 0 (ou seja, se x está no domínio, -x também) para fazermos esses testes — aqui isso acontece porque o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Estratégia prática para a prova (passo a passo que sempre funciona):
  1. Calcular explicitamente f(-x).
  2. Comparar f(-x) com f(x). Se forem iguais para todo x, a função é par.
  3. Se não forem iguais, comparar f(-x) com -f(x). Se forem iguais para todo x, a função é ímpar.
  4. Se nenhum dos dois casos ocorrer, a função é nenhum dos dois.

Passo 4

Calcular f(-x) de forma detalhada (não pule etapas):
f(-x)=(-x)^{2}+(-x)^{4}.
Agora explicar por que (-x)^{2}=x^{2} e (-x)^{4}=x^{4}:
  • (-x)^{2}=(-1)^{2}x^{2}=1\cdot x^{2}=x^{2} (qualquer número negativo ao quadrado perde o sinal),
  • (-x)^{4}=(-1)^{4}x^{4}=1\cdot x^{4}=x^{4} (mesma ideia, potência par elimina o sinal).
    Portanto,
f(-x)=x^{2}+x^{4}.

Passo 5

Comparar o resultado com f(x) e com -f(x):
  • Observa-se que
f(-x)=x^{2}+x^{4}=f(x),
portanto a igualdade da definição de função par é satisfeita para todo x\in\mathbb{R}. Logo f é par.
  • Para reforçar que não é ímpar, note que
-f(x)=-(x^{2}+x^{4})=-x^{2}-x^{4},
e isso é diferente de f(-x)=x^{2}+x^{4} (exceto no ponto x=0). Assim, a condição de função ímpar não vale.
Dica rápida de prova que ajuda em outras questões: potências ímpares de x ( x^{1},x^{3},x^{5},\dots) são funções ímpares; potências pares ( x^{2},x^{4},\dots) são funções pares. Soma de funções pares é par; soma de funções ímpares é ímpar; soma de par com ímpar geralmente não é nem par nem ímpar.

Resposta

par

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