Determine a forma usual
do número complexo
. Apresente a simplificação de cada potência de
como parte da sua resolução.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para escrever
na forma usual
. Foi solicitado também que a simplificação de cada potência de
seja apresentada como parte da resolução. Informações relevantes fornecidas:
- Numeradores e denominadores envolvem potências de
: , , e . - Objetivo: obter
na forma com e reais.
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade essencial das potências de
que vamos usar: as potências de
são cíclicas com período
. Escrevendo os quatro primeiros casos:
e então
para todo inteiro
. Isso significa que, para simplificar
, basta reduzir
módulo
e usar a tabela acima.
Passo 3
Agora simplifico cada potência pedida, reduzindo o expoente módulo
.
Calculemos os restos:
logo
logo
logo
logo
Estas simplificações foram obtidas usando a ciclicidade
e a tabela de
.
Passo 4
Substituo as potências simplificadas na expressão de
:
Agora simplifico numerador e denominador:
Portanto
Passo 5
Para dividir números complexos, uma forma prática é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter denominador real. O conjugado de
é
. Multiplico:
Calculo o denominador usando
com
e
:
Agora o numerador, distribuindo:
Logo
Dividindo cada termo por
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas útil para a prova): multiplicando o denominador original por este
deve retornar o numerador original:
que é exatamente o numerador que tínhamos. Portanto a conta está consistente.