Determine a forma usual (x+y i) do número complexo Z=\frac{i^{2027}-i^{45}}{i^{33}+i^{50}}. Apresente a simplificação de cada potência de i como parte da sua resolução.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
Z=\frac{i^{2027}-i^{45}}{i^{33}+i^{50}}
e pede para escrever Z na forma usual x+yi. Foi solicitado também que a simplificação de cada potência de i seja apresentada como parte da resolução. Informações relevantes fornecidas:
  • Numeradores e denominadores envolvem potências de i: i^{2027}, i^{45}, i^{33} e i^{50}.
  • Objetivo: obter Z na forma x+yi com x e y reais.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade essencial das potências de i que vamos usar: as potências de i são cíclicas com período 4. Escrevendo os quatro primeiros casos:
i^{0}=1,\qquad i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,
e então i^{k+4}=i^{k} para todo inteiro k. Isso significa que, para simplificar i^{n}, basta reduzir n módulo 4 e usar a tabela acima.

Passo 3

Agora simplifico cada potência pedida, reduzindo o expoente módulo 4.
Calculemos os restos:
2027 = 4\cdot 506 + 3 \quad\Rightarrow\quad 2027 \bmod 4 = 3,
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i^{2027}=i^{3}=-i.
45 = 4\cdot 11 + 1 \quad\Rightarrow\quad 45 \bmod 4 = 1,
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i^{45}=i^{1}=i.
33 = 4\cdot 8 + 1 \quad\Rightarrow\quad 33 \bmod 4 = 1,
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i^{33}=i^{1}=i.
50 = 4\cdot 12 + 2 \quad\Rightarrow\quad 50 \bmod 4 = 2,
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i^{50}=i^{2}=-1.
Estas simplificações foram obtidas usando a ciclicidade i^{n+4}=i^{n} e a tabela de i^{0},i^{1},i^{2},i^{3}.

Passo 4

Substituo as potências simplificadas na expressão de Z:
Z=\frac{i^{2027}-i^{45}}{i^{33}+i^{50}}=\frac{(-i)-i}{i+(-1)}.
Agora simplifico numerador e denominador:
\text{numerador} = -i - i = -2i,
\text{denominador} = i - 1 = -1 + i.
Portanto
Z=\frac{-2i}{-1+i}.

Passo 5

Para dividir números complexos, uma forma prática é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter denominador real. O conjugado de -1+i é -1-i. Multiplico:
Z=\frac{-2i}{-1+i}\cdot\frac{-1-i}{-1-i}=\frac{(-2i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}.
Calculo o denominador usando (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} com a=-1 e b=i:
(-1+i)(-1-i)=(-1)^{2}-i^{2}=1-(-1)=2.
Agora o numerador, distribuindo:
(-2i)(-1-i)=(-2i)(-1)+(-2i)(-i)=2i+2i^{2}=2i+2(-1)=-2+2i.
Logo
Z=\frac{-2+2i}{2}.
Dividindo cada termo por 2:
Z=-1+i.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil para a prova): multiplicando o denominador original por este Z deve retornar o numerador original:
(-1+i)\cdot(-1+i)=(-1)^{2}+(-1)i+i(-1)+i^{2}=1- i - i -1=-2i,
que é exatamente o numerador que tínhamos. Portanto a conta está consistente.

Resposta

-1+i

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