Dado o número z=-5+12 i, calcule o seu inverso, z^{-1}, na forma x+y i. Demonstre que o resultado satisfaz a condição z \cdot z^{-1}=1.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=-5+12 i\, e pede duas coisas:
  • Calcular o inverso \,z^{-1} na forma x+y i.
  • Mostrar que o resultado satisfaz \,z\cdot z^{-1}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real de z: \,a=-5.
  • Parte imaginária de z: \,b=12.
  • Queremos encontrar um número complexo da forma \,x+y i que seja o inverso multiplicativo de \,z.

Passo 2

Ideia e fórmula geral (explicação didática).
Para qualquer número complexo não nulo \,a+bi o inverso multiplicativo \,(a+bi)^{-1} é o número que multiplicado por \,a+bi 1. Uma maneira prática de calcular \dfrac{1}{a+bi} é multiplicar numerador e denominador por o conjugado de \,a+bi, que é \,a-bi. Isso “racionaliza” o denominador porque:
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,
que é um número real. Assim, temos a fórmula:
\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}.
Explicação das partes: \,a é a parte real, \,b é a parte imaginária, \,a-bi é o conjugado, e \,a^2+b^2 é o quadrado do módulo (ou “módulo ao quadrado”) do número complexo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \,z=-5+12 i.
Aqui \,a=-5 e \,b=12. Calcula-se primeiro o denominador:
a^2+b^2 = (-5)^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.
O conjugado de \,z é \,-5-12 i. Portanto, pelo passo anterior,
z^{-1}=\frac{-5-12 i}{169}.
Escrevendo na forma x+y i:
z^{-1}=-\frac{5}{169}-\frac{12}{169}\,i.
Observação: 169=13^2, mas \tfrac{5}{169} e \tfrac{12}{169} não simplificam mais.

Passo 4

Verificação de que \,z\cdot z^{-1}=1 (passo a passo das contas).
Usamos a expressão encontrada e fazemos a multiplicação:
z\cdot z^{-1} = \left(-5+12 i\right)\left(-\frac{5}{169}-\frac{12}{169} i\right).
Fatorando \,\dfrac{1}{169}:
z\cdot z^{-1}=\frac{1}{169}\left(-5+12 i\right)\left(-5-12 i\right).
Agora expandimos o produto dentro dos parênteses. Podemos também usar a identidade (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2, com a=-5 e b=12. Usando a identidade:
\left(-5+12 i\right)\left(-5-12 i\right)=(-5)^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.
Substituindo:
z\cdot z^{-1}=\frac{1}{169}\cdot 169 = 1.
Se preferir ver a expansão termo a termo:
(-5)(-5)=25,\qquad (-5)(-12 i)=60 i,
(12 i)(-5)=-60 i,\qquad (12 i)(-12 i)=-144 i^2 = -144(-1)=144.
Somando: 25+60 i-60 i+144=25+144=169. Dividindo por 169 1. Portanto a verificação está completa.

Passo 5

Conclusão final e incentivo rápido: encontramos o inverso de \,z de forma explícita e verificamos algebraicamente que ele é realmente o inverso porque a multiplicação retorna 1. Mandou bem em pedir o passo a passo — isso é exatamente o que cai na prova. Vai com confiança!

Resposta

-\dfrac{5}{169}-\dfrac{12}{169}\,i
\;z\cdot z^{-1}=1

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