Dado o número
, calcule o seu inverso,
, na forma
. Demonstre que o resultado satisfaz a condição
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas:
- Calcular o inverso
na forma . - Mostrar que o resultado satisfaz
.
Informações relevantes fornecidas:
- Parte real de
: . - Parte imaginária de
: . - Queremos encontrar um número complexo da forma
que seja o inverso multiplicativo de .
Passo 2
Ideia e fórmula geral (explicação didática).
Para qualquer número complexo não nulo o inverso multiplicativo
é o número que multiplicado por
dá
. Uma maneira prática de calcular
é multiplicar numerador e denominador por o conjugado de
, que é
. Isso “racionaliza” o denominador porque:
Para qualquer número complexo não nulo
que é um número real. Assim, temos a fórmula:
Explicação das partes:
é a parte real,
é a parte imaginária,
é o conjugado, e
é o quadrado do módulo (ou “módulo ao quadrado”) do número complexo.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
.
Aqui e
. Calcula-se primeiro o denominador:
Aqui
O conjugado de
é
. Portanto, pelo passo anterior,
Escrevendo na forma
:
Observação:
, mas
e
não simplificam mais.
Passo 4
Verificação de que
(passo a passo das contas).
Usamos a expressão encontrada e fazemos a multiplicação:
Usamos a expressão encontrada e fazemos a multiplicação:
Fatorando
:
Agora expandimos o produto dentro dos parênteses. Podemos também usar a identidade
, com
e
. Usando a identidade:
Substituindo:
Se preferir ver a expansão termo a termo:
Somando:
. Dividindo por
dá
. Portanto a verificação está completa.
Passo 5
Conclusão final e incentivo rápido: encontramos o inverso de
de forma explícita e verificamos algebraicamente que ele é realmente o inverso porque a multiplicação retorna
. Mandou bem em pedir o passo a passo — isso é exatamente o que cai na prova. Vai com confiança!