Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano $ W(t) $ é dado por:
O Wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. No contexto das equações diferenciais, existe uma fórmula chamada Fórmula de Abel que nos permite calcular o Wronskiano sem conhecer as soluções exatas.
Passo 3
A Fórmula de Abel para uma equação diferencial da forma:
diz que o Wronskiano $ W(t) $ das soluções é:
onde $ c $ é uma constante.
Passo 4
Vamos identificar $ p(t) $ na nossa equação. Comparando com a forma geral:
vemos que:
Passo 5
Agora, aplicamos a Fórmula de Abel:
Vamos calcular a integral no expoente:
Ignorando a constante de integração $ C $ (já que ela será absorvida pela constante $ c $):
Passo 6
Simplificando a expressão exponencial:
Então:
Resposta
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a $ \frac{c}{t^{2}} $. Portanto, a resposta correta é:
Nenhuma das demais alternativas