Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
y^prime prime+2t y^prime+y=0
Escolha uma opção:
ct
craizt
c e^raizt
Nenhuma das demais alternativas
c e^traizt
c raizt

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
y'' + 2t y' + y = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano $ W(t) $ é dado por:
y1(t)
O Wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes. No contexto das equações diferenciais, existe uma fórmula chamada Fórmula de Abel que nos permite calcular o Wronskiano sem conhecer as soluções exatas.

Passo 3

A Fórmula de Abel para uma equação diferencial da forma:
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
diz que o Wronskiano $ W(t) $ das soluções é:
W(t)
onde $ c $ é uma constante.

Passo 4

Vamos identificar $ p(t) $ na nossa equação. Comparando com a forma geral:
p(t)
vemos que:
y'' + 2t y' + y = 0

Passo 5

Agora, aplicamos a Fórmula de Abel:
W(t) = c exp(-integral 2t dt)
Vamos calcular a integral no expoente:
integral 2t dt = 2 ln|t| + C
Ignorando a constante de integração $ C $ (já que ela será absorvida pela constante $ c $):
C

Passo 6

Simplificando a expressão exponencial:
exp(-2 ln t) = t^-2
Então:
W(t) = c t^-2 = ct^2

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a $ \frac{c}{t^{2}} $. Portanto, a resposta correta é:
Nenhuma das demais alternativas

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