Determine \frac{d z}{d t}, onde:
z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), x=\sqrt{t}, y=\operatorname{senh}(t), z=\operatorname{cosh} (t).

Passo 1

O enunciado define z(t)=\ln\bigl(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2\bigr)
com x(t)=\sqrt{t},\;y(t)=\operatorname{sinh}(t),\;z(t)=\operatorname{cosh}(t).
O conteúdo necessário é a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis.

Passo 2

Aplicamos
\frac{d}{dt}\ln\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr) =\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\,\frac{d}{dt}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr).
Em seguida,
\frac{d}{dt}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr) =2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}+2z\frac{dz}{dt}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada coordenada:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{t}=\frac{1}{2\sqrt{t}},\quad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\operatorname{sinh}(t)=\operatorname{cosh}(t),\quad \frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\operatorname{cosh}(t)=\operatorname{sinh}(t).

Passo 4

Substituindo em \tfrac{d}{dt}[x^2+y^2+z^2]=2x\,(dx/dt)+2y\,(dy/dt)+2z\,(dz/dt)
temos
2\sqrt{t}\,\frac{1}{2\sqrt{t}} +2\operatorname{sinh}(t)\,\operatorname{cosh}(t) +2\operatorname{cosh}(t)\,\operatorname{sinh}(t) =1+4\operatorname{sinh}(t)\operatorname{cosh}(t).
Logo,
\frac{dz}{dt} =\frac{1+4\operatorname{sinh}(t)\operatorname{cosh}(t)}{x^2+y^2+z^2} =\frac{1+2\operatorname{sinh}(2t)}{t+\operatorname{sinh}^2(t)+\operatorname{cosh}^2(t)}.
Como \operatorname{sinh}^2(t)+\operatorname{cosh}^2(t)=\operatorname{cosh}(2t), fica
\frac{dz}{dt} =\frac{1+2\operatorname{sinh}(2t)}{t+\operatorname{cosh}(2t)}.

Resposta

\frac{dz}{dt} =\frac{1+2\operatorname{sinh}(2t)}{t+\operatorname{cosh}(2t)}.

Exercícios relacionados