Determine \frac{d z}{d t}, onde:
z=u^{2} v+u v^{2}, u=2+x^{4}, v=1-x^{3}, x=t+t^{2}+t^{3}.

Passo 1

O problema pede \frac{dz}{dt} para
z = u^2 v + u v^2, \quad u = 2 + x^4, \quad v = 1 - x^3, \quad x = t + t^2 + t^3.
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em funções compostas: primeiro calculamos derivadas parciais de z em relação a u e v, depois derivadas de u,v em relação a x e de x em relação a t, e combinamos tudo.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(u^2v + uv^2) = 2u\,v + v^2,
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(u^2v + uv^2) = u^2 + 2u\,v.

Passo 3

Derivadas de u e v em relação a x:
u = 2 + x^4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = 4x^3,
v = 1 - x^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx} = -3x^2.

Passo 4

Derivada de x em relação a t:
x = t + t^2 + t^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} = 1 + 2t + 3t^2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia completa:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\,\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\,\frac{dv}{dt},
com
\frac{du}{dt} = \frac{du}{dx}\,\frac{dx}{dt}, \quad \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt}.
Substituindo tudo:
\frac{dz}{dt} = \bigl(2u\,v + v^2\bigr)\,4x^3\,(1+2t+3t^2) + \bigl(u^2 + 2u\,v\bigr)\,(-3x^2)\,(1+2t+3t^2).

Passo 6

Por fim, voltando a u=2+x^4, v=1-x^3 e x=t+t^2+t^3, temos como forma explícita em função de t:
\frac{dz}{dt} = \Bigl(2(2+x^4)(1-x^3)+(1-x^3)^2\Bigr)\,4x^3\,(1+2t+3t^2) \;+\;\Bigl((2+x^4)^2+2(2+x^4)(1-x^3)\Bigr)\,(-3x^2)\,(1+2t+3t^2),
onde x = t + t^2 + t^3.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \bigl(2u\,v + v^2\bigr)\,4x^3\,(1+2t+3t^2) + \bigl(u^2 + 2u\,v\bigr)\,(-3x^2)\,(1+2t+3t^2),
com
u = 2 + x^4, \quad v = 1 - x^3, \quad x = t + t^2 + t^3.

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