Explique por que a função é diferenciável no ponto P dado. A seguir, encontre a linearização da função no dado ponto:
f(x, y)=y e^{-x y} \cos (y), P=(\pi, 0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=y\,e^{-x y}\cos(y)
é diferenciável em P=(\pi,0) e, a seguir, encontrar a sua linearização nesse ponto. O conteúdo é diferenciação de funções de duas variáveis e construção da aproximação linear (plano tangente).

Passo 2

A função f(x,y) é produto e composição de funções elementares \bigl(y,\;e^{-xy},\;\cos y\bigr), todas de classe C^\infty em \mathbb{R}^2. Como as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de P, concluímos que f é diferenciável em P.

Passo 3

Calculemos primeiro o valor de f em P. Substituindo x=\pi e y=0,
f(\pi,0)=0\cdot e^{-\pi\cdot0}\cos(0)=0\cdot1\cdot1=0.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a x. Tomando
f(x,y)=y\,e^{-xy}\cos(y),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =-y^2\,e^{-xy}\cos(y).
Em P (onde y=0) isso vira
f_x(\pi,0) = -0^2\cdot e^{-\pi\cdot0}\cos(0) = 0.

Passo 5

Em seguida, a derivada parcial em relação a y. Aplicando regra do produto em y e em e^{-xy}\cos y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{-xy}\cos(y) + y\bigl(-x\,e^{-xy}\cos(y)-e^{-xy}\sin(y)\bigr).
Em P (onde x=\pi e y=0) isso dá
f_y(\pi,0) = e^{-\pi\cdot0}\cos(0) +0\cdot(\dots) =1\cdot1 = 1.

Passo 6

A linearização (aproximação afim) de f em P é
L(x,y) = f(\pi,0) + f_x(\pi,0)\,(x-\pi) + f_y(\pi,0)\,(y-0).
Substituindo f(\pi,0)=0, f_x(\pi,0)=0 e f_y(\pi,0)=1, vem
L(x,y)=0 + 0\,(x-\pi) + 1\cdot y = y.

Resposta

A função é diferenciável em P porque é composição de funções de classe C^\infty. A linearização em P=(\pi,0) é
L(x,y)=y.

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