Explique por que a função é diferenciável no ponto
dado. A seguir, encontre a linearização da função no dado ponto:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e, a seguir, encontrar a sua linearização nesse ponto. O conteúdo é diferenciação de funções de duas variáveis e construção da aproximação linear (plano tangente).
Passo 2
A função
é produto e composição de funções elementares
, todas de classe
em
. Como as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de
, concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculemos primeiro o valor de
em
. Substituindo
e
,
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Tomando
temos
Em
(onde
) isso vira
Passo 5
Em seguida, a derivada parcial em relação a
. Aplicando regra do produto em
e em
, obtemos
Em
(onde
e
) isso dá
Passo 6
A linearização (aproximação afim) de
em
é
Substituindo
,
e
, vem
Resposta
A função é diferenciável em
porque é composição de funções de classe
. A linearização em
é