Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
F(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}+3 x}{\operatorname{Sen}(x)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 3, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
F(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}+3x}{\operatorname{sen}(x)},&x\neq0,\\\\ 3,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=0. Para isso, vamos calcular \lim_{x\to0}F(x) e comparar com F(0)=3.

Passo 2

Começamos calculando
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+3x}{\operatorname{sen}(x)}.
Fatorando o numerador, obtemos
\frac{x^{2}+3x}{\operatorname{sen}(x)} =\frac{x\,(x+3)}{\operatorname{sen}(x)} =\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}\,(x+3).
Usamos o limite padrão
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=1,
e também
\lim_{x\to0}(x+3)=3.
Pelo produto de limites,
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+3x}{\operatorname{sen}(x)} =1\cdot3=3.

Passo 3

Como \lim_{x\to0}F(x)=3 e F(0)=3, concluímos que F é contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0.

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