Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}}{1-\operatorname{Cos}(x)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 2, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
M(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{1-\cos(x)},&x\neq0,\\[1em] 2,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se M é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos(x)}
e comparar esse limite com o valor M(0)=2.]

Passo 2

Observamos que, ao substituir x=0 na forma \frac{x^{2}}{1-\cos(x)}, obtemos a indeterminação 0/0. Aplicamos a Regra de L’Hôpital: diferenciando numerador e denominador, temos
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos(x)} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}(x^{2})}{\frac{d}{dx}\bigl(1-\cos(x)\bigr)} =\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin(x)}.
Ainda resta a forma 0/0, mas conhecemos o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)}=1,
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\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin(x)} =2\cdot\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin(x)} =2\cdot1 =2.

Passo 3

Como
\lim_{x\to0}M(x)=2
e
M(0)=2,
concluímos que o limite lateral coincide com o valor da função em 0. Portanto, M é contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0.

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