Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{\operatorname{tg}^{4}(2 x)}{4 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
M(x)= \begin{cases} \dfrac{\tan^{4}(2x)}{4x^{2}},&x\neq0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em x=0. O conteúdo necessário é o cálculo de limite e o critério de continuidade: a função é contínua em x=0 se
\lim_{x\to0}M(x)=M(0).

Passo 2

Para calcular \displaystyle\lim_{x\to0}M(x), usamos o fato clássico
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.
Aqui tomamos u=2x, de modo que \tan(2x)/(2x)\to1 quando x\to0.

Passo 3

Escrevemos
\lim_{x\to0}\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{2}} =\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{4}\,\frac{(2x)^{4}}{4x^{2}}.
Note que
\frac{(2x)^{4}}{4x^{2}} =\frac{16x^{4}}{4x^{2}} =4x^{2},
portanto
\lim_{x\to0}M(x) =\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{4}\, \lim_{x\to0}4x^{2} =1^{4}\cdot0=0.

Passo 4

Como obtivemos
\lim_{x\to0}M(x)=0
e por definição M(0)=0, segue que
\lim_{x\to0}M(x)=M(0),
logo M é contínua em x=0.

Resposta

A função M é contínua em x=0.

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