Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1-\operatorname{Cos}^{4}(x)}{4 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\ \frac{1}{2}, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
M(x)= \begin{cases} \dfrac{1-\cos^{4}(x)}{4\,x^{2}},&x\neq 0,\\[6pt] \dfrac12,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se M é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular
\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos^{4}(x)}{4\,x^{2}}
e comparar com M(0)=\tfrac12.]

Passo 2

Usamos a identidade
1-\cos^{4}(x)=(1-\cos^{2}(x))(1+\cos^{2}(x))=\sin^{2}(x)\,\bigl(1+\cos^{2}(x)\bigr).

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
\frac{1-\cos^{4}(x)}{4\,x^{2}} = \frac{\sin^{2}(x)\,\bigl(1+\cos^{2}(x)\bigr)}{4\,x^{2}} = \Bigl(\frac{\sin(x)}{x}\Bigr)^{2}\,\frac{1+\cos^{2}(x)}{4}.

Passo 4

Ao fazer x\to0, sabemos que \sin(x)/x\to1 e \cos(x)\to1. Logo,
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\sin(x)}{x}\Bigr)^{2}\,\frac{1+\cos^{2}(x)}{4} =1^{2}\,\frac{1+1^{2}}{4} =\frac{2}{4} =\frac12.

Passo 5

O limite em 0 da parte para x\neq0 é \tfrac12, que coincide com o valor M(0)=\tfrac12. Portanto, M é contínua em x=0.

Resposta

A função M(x) é contínua em x=0.

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