Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{\operatorname{Cos}^{4}(x)-1}{6 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ -\frac{1}{3}, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define
M(x)= \begin{cases} \dfrac{\cos^{4}(x)-1}{6x^{2}},&x\neq0,\\[6pt] -\tfrac{1}{3},&x=0, \end{cases}
e pede continuidade em x=0. Para isso, vamos verificar se
\lim_{x\to0}M(x)=M(0).
Usaremos a fatoração de \cos^{4}x-1, a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x e o limite conhecido
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
]

Passo 2

Para x\neq0, escrevemos
\frac{\cos^{4}x-1}{6x^{2}} =\frac{(\cos^{2}x-1)(\cos^{2}x+1)}{6x^{2}} =-\frac{\sin^{2}x\,(\cos^{2}x+1)}{6x^{2}} =-\frac{\cos^{2}x+1}{6}\,\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{2}.

Passo 3

Ao fazermos x\to0, temos \cos^{2}x+1\to2 e \bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr)^{2}\to1. Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{\cos^{4}x-1}{6x^{2}} =-\frac{2}{6} =-\frac{1}{3}.

Passo 4

Como esse limite é exatamente M(0)=-\tfrac{1}{3}, concluímos que M é contínua em x=0.

Resposta

A função M é contínua em x=0.

Exercícios relacionados