Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{\operatorname{Cos}^{4}(x)-1}{6 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ -\frac{1}{3}, & \text { se } x=0\end{aligned}\right. Passo 1O enunciado define M(x)= \begin{cases} \dfrac{\cos^{4}(x)-1}{6x^{2}},&x\neq0,\\[6pt] -\tfrac{1}{3},&x=0, \end{cases} e pede continuidade em x=0. Para isso, vamos verificar se \lim_{x\to0}M(x)=M(0). Usaremos a fatoração de \cos^{4}x-1, a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x e o limite conhecido \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. ] Passo 2Para x\neq0, escrevemos \frac{\cos^{4}x-1}{6x^{2}} =\frac{(\cos^{2}x-1)(\cos^{2}x+1)}{6x^{2}} =-\frac{\sin^{2}x\,(\cos^{2}x+1)}{6x^{2}} =-\frac{\cos^{2}x+1}{6}\,\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{2}. Passo 3Ao fazermos x\to0, temos \cos^{2}x+1\to2 e \bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr)^{2}\to1. Portanto, \lim_{x\to0}\frac{\cos^{4}x-1}{6x^{2}} =-\frac{2}{6} =-\frac{1}{3}. Passo 4Como esse limite é exatamente M(0)=-\tfrac{1}{3}, concluímos que M é contínua em x=0. RespostaA função M é contínua em x=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1-\operatorname{Cos}^{4}(x)}{4 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\ \frac{1}{2}, & \text { se } x=0\end{aligned}\right. Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1-\operatorname{Cos}^{4}(x)}{4 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\ \frac{1}{2}, & \text { se } x=0\end{aligned}\right. Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{\operatorname{Cos}^{4}(x)-1}{6 x^{2}}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ -\frac{1}{3}, & \text { se } x=0\end{aligned}\right. Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: F(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{3 x^{2}}{1-\operatorname{Cos}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 12, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.