Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
F(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{3 x^{2}}{1-\operatorname{Cos}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 12, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
F(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{3x^{2}}{1-\cos^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)},&x\neq0,\\[6pt] 12,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar continuidade em x=0.
Conteúdo: limites e continuidade de função definida por partes. Precisamos calcular \lim_{x\to0}F(x) e comparar com F(0).]

Passo 2

Para x\neq0 usamos a identidade trigonométrica
1-\cos^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\sin^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
de modo que
F(x) =\frac{3x^{2}}{\sin^{2}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Aplicamos o limite trigonométrico \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1. Escrevemos
\frac{x}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =2\;\frac{\frac{x}{2}}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)},
e como
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}=1, segue
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =2.

Passo 4

Portanto
\lim_{x\to0}F(x) =3\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{x}{\sin(\tfrac{x}{2})}\Bigr)^{2} =3\cdot2^{2} =12.
Como F(0)=12, concluímos que o limite lateral existe e coincide com o valor da função em 0.

Resposta

A função é contínua em x=0.

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