Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
F(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{2 x^{2}}{1-\operatorname{Cos}^{4}\left(\frac{x}{3}\right)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 9, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define
F(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2x^{2}}{1-\cos^{4}\!\left(\tfrac{x}{3}\right)},&x\neq0,\\[6pt] 9,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se F é contínua em x=0. Para isso, vamos calcular \lim_{x\to0}F(x) e comparar com F(0)=9.]

Passo 2

Observe que
1-\cos^{4}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) =\bigl(1-\cos^{2}\!\tfrac{x}{3}\bigr)\bigl(1+\cos^{2}\!\tfrac{x}{3}\bigr) =\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\,\bigl(1+\cos^{2}\!\tfrac{x}{3}\bigr).
Logo, para x\neq0,
F(x) =\frac{2x^{2}} {\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\,\bigl(1+\cos^{2}\!\tfrac{x}{3}\bigr)} =2\;\frac{x^{2}}{\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)}\;\frac{1}{1+\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)}.

Passo 3

Use o limite conhecido \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\cos u=1. Com u=\tfrac{x}{3}, temos
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)} =\lim_{u\to0}\frac{(3u)^{2}}{\sin^{2}u} =9\lim_{u\to0}\Bigl(\frac{u}{\sin u}\Bigr)^{2} =9,
e
\lim_{x\to0}\bigl(1+\cos^{2}\!\tfrac{x}{3}\bigr)=1+1^{2}=2.
Portanto
\lim_{x\to0}F(x) =2\cdot 9\cdot \frac{1}{2} =9.

Passo 4

Como \lim_{x\to0}F(x)=9 e F(0)=9, concluímos que F é contínua em x=0.

Resposta

A função F é contínua em x=0.

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