Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
f(x, y)=\sqrt{x+y}(4 x+3 y);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\sqrt{x+y}\,(4x+3y)
é homogênea, isto é, se existe um real k tal que
f(tx,ty)=t^k\,f(x,y)
para todo t>0. Vamos usar diretamente essa definição de homogeneidade.

Passo 2

Substituímos (x,y) por (tx,ty) em f:
f(tx,ty) =\sqrt{\,tx+ty\,}\;\bigl(4\,(tx)+3\,(ty)\bigr).

Passo 3

Dentro da raiz podemos fatorar t, e no segundo fator também:
\sqrt{\,t(x+y)\,}\;\bigl(t(4x+3y)\bigr) =\sqrt{t}\,\sqrt{x+y}\;\cdot t\,(4x+3y) =t^{1+\tfrac12}\,\sqrt{x+y}\,(4x+3y).

Passo 4

Isso mostra
f(tx,ty)=t^{3/2}\,\sqrt{x+y}\,(4x+3y) =t^{3/2}\,f(x,y),
ou seja, a homogeneidade se verifica com k=\tfrac32.

Resposta

A função é homogênea de grau \tfrac32.

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