Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
f(x, y)=\frac{x}{y^{2}+\sqrt{x^{4}+y^{4}}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\frac{x}{y^{2}+\sqrt{x^{4}+y^{4}}}
é homogênea, ou seja, se existe um grau k tal que
f(tx,ty)=t^{k}\,f(x,y)
para todo t>0.

Passo 2

Calculemos f(tx,ty). Substituindo (x,y) por (tx,ty), temos
f(tx,ty) =\frac{\,tx\,}{(ty)^{2}+\sqrt{(tx)^{4}+(ty)^{4}}}.

Passo 3

Observe que (ty)^{2}=t^{2}y^{2} e
\sqrt{(tx)^{4}+(ty)^{4}} =\sqrt{t^{4}x^{4}+t^{4}y^{4}} =t^{2}\sqrt{x^{4}+y^{4}}.
Logo o denominador fica
(ty)^{2}+\sqrt{(tx)^{4}+(ty)^{4}} =t^{2}\bigl(y^{2}+\sqrt{x^{4}+y^{4}}\bigr).

Passo 4

Substituindo de volta em f(tx,ty),
f(tx,ty) =\frac{tx}{t^{2}\bigl(y^{2}+\sqrt{x^{4}+y^{4}}\bigr)} =\frac{1}{t}\;\frac{x}{y^{2}+\sqrt{x^{4}+y^{4}}} =t^{-1}f(x,y).
Isto mostra que f(tx,ty)=t^{-1}f(x,y).

Resposta

A função é homogênea de grau -1.

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