Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
f(x, y)=\frac{\ln x^{3}}{\ln y^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\frac{\ln(x^3)}{\ln(y^3)},
definida para x>0, y>0 e y\neq1, é homogênea e, em caso afirmativo, determinar seu grau de homogeneidade. Lembramos que f é homogênea de grau k se, para todo t>0,
f(tx,\,ty)=t^k\,f(x,y).

Passo 2

Primeiro simplificamos f usando a identidade \ln(x^3)=3\ln(x) e \ln(y^3)=3\ln(y). Logo,
f(x,y) =\frac{3\ln(x)}{3\ln(y)} =\frac{\ln(x)}{\ln(y)}.

Passo 3

Agora calculamos f(tx,\,ty):
f(tx,\,ty) =\frac{\ln\bigl((tx)^3\bigr)}{\ln\bigl((ty)^3\bigr)} =\frac{3\ln(tx)}{3\ln(ty)} =\frac{\ln t+\ln x}{\ln t+\ln y}.

Passo 4

Para ser homogênea de grau k deveríamos ter
\frac{\ln t+\ln x}{\ln t+\ln y} \;=\;t^k\;\frac{\ln x}{\ln y} \quad\forall\,x,y>0,\;t>0.
O lado esquerdo depende de \ln t de forma aditiva, enquanto o direito depende de t^k como potência. Não existe valor de k que torne essas duas expressões iguais para todo t. Portanto, não há grau de homogeneidade que satisfaça a definição.

Resposta

A função f(x,y)=\dfrac{\ln(x^3)}{\ln(y^3)} não é homogênea.

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