Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada. f(x)=\left|x^{2}-1\right| em x_{0}=1 e x_{0}=-1
Passo 1
O enunciado dá a função f definida por f(x)=\left|x^{2}-1\right| e pede para determinar se f é derivável nos pontos x_{0}=1 e x_{0}=-1. Se for derivável, calcular a derivada nesses pontos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função é dada por f(x)=\left|x^{2}-1\right|.
Os pontos em que devemos verificar derivabilidade são x_{0}=1 e x_{0}=-1.
Não há outras restrições ou parâmetros; a análise deve usar a definição de derivada e/ou cálculo de derivadas laterais.
Passo 2
Vamos transformar a função com valor absoluto em uma expressão por partes (essa é a técnica padrão). Lembre que \left|u\right|\) vale \(u\) quando \(u\ge 0\) e vale \(-u\) quando \(u<0\). Aqui \(u=x^{2}-1\). Assim:
\[f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x^{2}-1\ge 0,\\[4pt] -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se } x^{2}-1<0. \end{cases}
Agora identifique as regiões em x\] correspondentes a essas condições. A desigualdade \(x^{2}-1\ge 0 é equivalente a |x|\ge 1. Então:
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } |x|\ge 1\quad(\text{ou seja } x\le -1 \text{ ou } x\ge 1),\\[4pt] 1-x^{2}, & \text{se } |x|<1\quad(\text{ou seja } -1<x<1). \end{cases}]
Passo 3
Relembre a definição de derivada num ponto x_{0}: f é derivável em x_{0} se existe o limite
A função é derivável em x_{0} se, e somente se, esses dois limites existirem e forem iguais: f'_{-}(x_{0})=f'_{+}(x_{0}). Essa estratégia é ideal quando x_{0} é ponto de mudança da fórmula por partes (como aqui).
Passo 4
Calcule as derivadas das expressões em cada região (quando existirem): para g(x)=x^{2}-1 temos g'(x)=2x. Para h(x)=1-x^{2} temos h'(x)=-2x. Essas derivadas valem em todos os pontos em que as respectivas fórmulas são válidas (isto é, para x com |x|>1 usamos 2x; para |x|<1 usamos -2x). Nos pontos de fronteira |x|=1 (ou seja x=\pm 1) precisamos comparar as derivadas laterais usando essas expressões.
Passo 5
Avaliação em x_{0}=1. Primeiro calcule f(1) pela definição original:
Agora derivada pela direita (x\to 1^{+}): para x>1 usamos a fórmula f(x)=x^{2}-1, cuja derivada é 2x. Portanto,
f'_{+}(1)=\lim_{x\to 1^{+}}2x=2\cdot 1=2.
Derivada pela esquerda (x\to 1^{-}): para x<1 mas próximo de 1 temos -1<x<1, então usamos f(x)=1-x^{2}, cuja derivada é -2x. Portanto,
f'_{-}(1)=\lim_{x\to 1^{-}}(-2x)=-2\cdot 1=-2.
Como f'_{-}(1)=-2 e f'_{+}(1)=2, os dois limites laterais não são iguais. Pelo critério das derivadas laterais, f não é derivável em x_{0}=1.
Passo 6
Explique intuitivamente o que aconteceu em x_{0}=1: a função muda de expressão em x=1 — à esquerda a parábola é voltada para baixo (1-x^{2}) e à direita é voltada para cima (x^{2}-1). Isso cria uma “quina” (ou canto) no gráfico em x=1, onde as tangentes laterais têm inclinações diferentes (-2 e 2), logo não existe uma única reta tangente — por isso não há derivada no ponto.
Novamente os limites laterais são diferentes: f'_{-}(-1)=-2 e f'_{+}(-1)=2. Logo f não é derivável em x_{0}=-1.
Passo 8
Comentário final e reforço: tanto em x_{0}=1 quanto em x_{0}=-1 a função tem quebra na expressão por partes e as derivadas laterais têm sinais opostos. Isso é análogo ao caso clássico de \left|x\right| em 0, onde as derivadas laterais também são diferentes (no caso de \left|x\right| valem -1 e 1). Sempre que uma função com valor absoluto muda de ramo, convém comparar as derivadas laterais para decidir derivabilidade.
Resposta
Em x_{0}=1: f não é derivável.
Em x_{0}=-1: f não é derivável.