Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada.
f(x)=\left|x^{2}-1\right| em x_{0}=1 e x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\left|x^{2}-1\right| e pede para determinar se f é derivável nos pontos x_{0}=1 e x_{0}=-1. Se for derivável, calcular a derivada nesses pontos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é dada por f(x)=\left|x^{2}-1\right|.
  • Os pontos em que devemos verificar derivabilidade são x_{0}=1 e x_{0}=-1.
  • Não há outras restrições ou parâmetros; a análise deve usar a definição de derivada e/ou cálculo de derivadas laterais.

Passo 2

Vamos transformar a função com valor absoluto em uma expressão por partes (essa é a técnica padrão). Lembre que \left|u\right|\) vale \(u\) quando \(u\ge 0\) e vale \(-u\) quando \(u<0\). Aqui \(u=x^{2}-1\). Assim: \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x^{2}-1\ge 0,\\[4pt] -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se } x^{2}-1<0. \end{cases}
Agora identifique as regiões em x\] correspondentes a essas condições. A desigualdade \(x^{2}-1\ge 0 é equivalente a |x|\ge 1. Então:
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } |x|\ge 1\quad(\text{ou seja } x\le -1 \text{ ou } x\ge 1),\\[4pt] 1-x^{2}, & \text{se } |x|<1\quad(\text{ou seja } -1<x<1). \end{cases}]

Passo 3

Relembre a definição de derivada num ponto x_{0}: f é derivável em x_{0} se existe o limite
f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Uma forma prática para pontos onde a expressão é por partes é verificar as derivadas laterais: a derivada pela direita
f'_{+}(x_{0})=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
e a derivada pela esquerda
f'_{-}(x_{0})=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
A função é derivável em x_{0} se, e somente se, esses dois limites existirem e forem iguais: f'_{-}(x_{0})=f'_{+}(x_{0}). Essa estratégia é ideal quando x_{0} é ponto de mudança da fórmula por partes (como aqui).

Passo 4

Calcule as derivadas das expressões em cada região (quando existirem): para g(x)=x^{2}-1 temos g'(x)=2x. Para h(x)=1-x^{2} temos h'(x)=-2x. Essas derivadas valem em todos os pontos em que as respectivas fórmulas são válidas (isto é, para x com |x|>1 usamos 2x; para |x|<1 usamos -2x). Nos pontos de fronteira |x|=1 (ou seja x=\pm 1) precisamos comparar as derivadas laterais usando essas expressões.

Passo 5

Avaliação em x_{0}=1. Primeiro calcule f(1) pela definição original:
1^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad f(1)=\left|0\right|=0.
Agora derivada pela direita ( x\to 1^{+}): para x>1 usamos a fórmula f(x)=x^{2}-1, cuja derivada é 2x. Portanto,
f'_{+}(1)=\lim_{x\to 1^{+}}2x=2\cdot 1=2.
Derivada pela esquerda ( x\to 1^{-}): para x<1 mas próximo de 1 temos -1<x<1, então usamos f(x)=1-x^{2}, cuja derivada é -2x. Portanto,
f'_{-}(1)=\lim_{x\to 1^{-}}(-2x)=-2\cdot 1=-2.
Como f'_{-}(1)=-2 e f'_{+}(1)=2, os dois limites laterais não são iguais. Pelo critério das derivadas laterais, f não é derivável em x_{0}=1.

Passo 6

Explique intuitivamente o que aconteceu em x_{0}=1: a função muda de expressão em x=1 — à esquerda a parábola é voltada para baixo ( 1-x^{2}) e à direita é voltada para cima ( x^{2}-1). Isso cria uma “quina” (ou canto) no gráfico em x=1, onde as tangentes laterais têm inclinações diferentes ( -2 e 2), logo não existe uma única reta tangente — por isso não há derivada no ponto.

Passo 7

Avaliação em x_{0}=-1. Primeiro calcule f(-1):
(-1)^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad f(-1)=\left|0\right|=0.
Agora derivada pela esquerda ( x\to -1^{-}): para x<-1 usamos f(x)=x^{2}-1 com derivada 2x. Logo
f'_{-}(-1)=\lim_{x\to -1^{-}}2x=2\cdot (-1)=-2.
Derivada pela direita ( x\to -1^{+}): para -1<x<1 usamos f(x)=1-x^{2} com derivada -2x. Então
f'_{+}(-1)=\lim_{x\to -1^{+}}(-2x)=-2\cdot (-1)=2.
Novamente os limites laterais são diferentes: f'_{-}(-1)=-2 e f'_{+}(-1)=2. Logo f não é derivável em x_{0}=-1.

Passo 8

Comentário final e reforço: tanto em x_{0}=1 quanto em x_{0}=-1 a função tem quebra na expressão por partes e as derivadas laterais têm sinais opostos. Isso é análogo ao caso clássico de \left|x\right| em 0, onde as derivadas laterais também são diferentes (no caso de \left|x\right| valem -1 e 1). Sempre que uma função com valor absoluto muda de ramo, convém comparar as derivadas laterais para decidir derivabilidade.

Resposta

Em x_{0}=1: f não é derivável.
Em x_{0}=-1: f não é derivável.

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