Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada.
f(x)=\left|x^{2}-1\right| em x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função \,f(x)=\left|x^{2}-1\right|\, é derivável no ponto \,x_{0}=2. Se for derivável, calcular a derivada em \,x_{0}=2.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=\left|x^{2}-1\right|.
  • O ponto onde devemos verificar derivabilidade e, se existir, calcular a derivada é \,x_{0}=2.

Passo 2

Entender o que significa a função \left|x^{2}-1\right|\) e escrever de forma peça por peça (piecewise). A expressão dentro do valor absoluto é \(\,g(x)=x^{2}-1\). O valor absoluto segue a regra: \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aplicando com u=g(x)=x^{2}-1\], obtemos \[f(x)=\left|x^{2}-1\right|= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x^{2}-1 \ge 0,\\[4pt] -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se } x^{2}-1<0. \end{cases}\] Isso significa que a função é dada por \(\,x^{2}-1 nas partes onde x^{2}\ge 1 e por \,1-x^{2} nas partes onde x^{2}<1.]

Passo 3

Avaliar a função interna no ponto pedido para ver em qual ramo estamos. Calcule \,g(2)=2^{2}-1.
g(2)=2^{2}-1=4-1=3.
Como \,g(2)=3>0, o ponto \,x_{0}=2 pertence à região onde \,x^{2}-1\ge 0. Portanto, num intervalo ao redor de \,x=2 a função \,f coincide com a função polinomial \,x^{2}-1.

Passo 4

Explicar por que coincide numa vizinhança: a função g(x)=x^{2}-1 é contínua, e g(2)=3>0. Pela continuidade existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-2|<\delta, temos g(x)>0. Ou seja, há um intervalo aberto centrado em \,2 onde x^{2}-1>0 e, portanto, nesse intervalo
f(x)=x^{2}-1.
Se uma função coincide com um polinômio numa vizinhança de um ponto, então sua derivabilidade naquele ponto é a mesma do polinômio (os polinômios são deriváveis em todo lugar). Vamos aproveitar isso para calcular a derivada.

Passo 5

Relembrar a definição de derivada e aplicar no ponto: a derivada de f em a é o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Aqui a=2. Como para h pequeno ( |h|<\delta) temos f(2+h)=(2+h)^{2}-1 e f(2)=2^{2}-1, substituímos na definição:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\bigl((2+h)^{2}-1\bigr)-\bigl(2^{2}-1\bigr)}{h}.
Calcule o numerador passo a passo:
(2+h)^{2}-1 = 4+4h+h^{2}-1 = 3+4h+h^{2},
e
2^{2}-1 = 4-1 = 3.
Substituindo:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(3+4h+h^{2})-3}{h}=\frac{4h+h^{2}}{h}.
Simplificando:
\frac{4h+h^{2}}{h}=4+h.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(2)=\lim_{h\to 0}(4+h)=4.
Portanto o limite existe e é igual a \,4.

Passo 6

Interpretação e forma alternativa (intuitiva): como em uma vizinhança de \,x=2 temos f(x)=x^{2}-1, a derivada local de f é a derivada de x^{2}-1. A derivada de um polinômio x^{2}-1 é 2x. Avaliando em x=2 obtemos 2\cdot 2=4, que é o mesmo resultado obtido pelo limite. Isso confirma e é uma forma mais rápida de calcular na prova quando você percebe que o valor dentro do valor absoluto é estritamente positivo no ponto pedido.

Passo 7

Conclusão final e incentivo: como mostramos, existe um intervalo ao redor de \,x_{0}=2 onde \,f coincide com o polinômio \,x^{2}-1, então f é derivável em \,2 e a derivada vale \,4. Você já está dominando a ideia: sempre que o argumento do valor absoluto for diferente de zero no ponto, a derivabilidade costuma ser simples — o cuidado é só quando o argumento é zero.

Resposta

A função é derivável em \,x_{0}=2 e \,f'(2)=4

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