Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x-1}, & \text { se } x \neq 1, \\\\ 1, & \text { se } x=1\end{array}\right. em x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}, & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] 1, & \text{se } x=1,\end{cases}
e pede para determinar se f é derivável em x_{0}=1. Em caso afirmativo, calcular a derivada em x_{0}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão \dfrac{x^{2}-1}{x-1} vale para todo x\neq 1.
  • O valor de f no ponto x=1 é f(1)=1.
  • O ponto onde vamos testar derivabilidade é x_{0}=1.]

Passo 2

Vamos simplificar a expressão que vale para x\neq 1. Isso nos ajuda a entender o comportamento de f quando x se aproxima de 1.
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\qquad\text{para }x\neq 1.
Ou seja, para todo x\neq 1 temos f(x)=x+1.

Passo 3

Agora calculemos o limite de f(x) quando x\to 1. Como para x\neq 1 temos f(x)=x+1, então
\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2.
Observe que esse limite foi obtido usando a simplificação da imagem (pegamos o valor de f(x) para x\neq1, ou seja, dos x que aparecem na expressão da peça da função).

Passo 4

Verificamos a continuidade em x=1. Para a função ser contínua em x=1 é necessário que
\lim_{x\to 1}f(x)=f(1).
Encontramos \lim_{x\to 1}f(x)=2 e sabemos que f(1)=1. Como 2\neq 1, a função é descontínua em x=1.
Importante (teoria explicada): uma condição básica e necessária para que uma função seja derivável num ponto é que ela seja contínua nesse ponto. Em palavras simples: se a função “salta” no ponto, não dá para ter uma tangente bem definida com coeficiente finito naquele ponto. Portanto, se detectamos descontinuidade, podemos concluir imediatamente que a função não é derivável ali.

Passo 5

Para dar uma verificação adicional e ver o que acontece com o quociente de diferença (a definição da derivada), calculemos o quociente de diferença para x\neq 1:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x+1)-1}{x-1}=\frac{x}{x-1}.
Agora analisamos o limite desse quociente quando x\to 1. Note que
\lim_{x\to 1^+}\frac{x}{x-1}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^-}\frac{x}{x-1}=-\infty,
porque o numerador tende a 1 enquanto o denominador tende a 0 com sinais opostos ao aproximar-se de 1 pela direita e pela esquerda. Portanto o limite do quociente de diferença não existe como número finito (nem mesmo converge para o mesmo infinito lateralmente). Isso confirma que a derivada em x=1 não existe.
Explicação didática: a derivada em x_{0} é definida como o limite
f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Se esse limite não existe ou não é finito, a função não é derivável naquele ponto. Aqui vimos que o quociente de diferença diverge com sinais opostos dos dois lados, então não há derivada.

Passo 6

Conclusão final: como f é descontínua em x=1 (e o quociente de diferença não tem limite finito), f não é derivável em x_{0}=1. Não existe valor de f'(1).

Resposta

A função não é derivável em x_{0}=1.

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