Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão dentro do limite é
. - O limite é calculado quando
tende a . - Queremos encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Uma observação útil (mas não obrigatória) é reconhecer a forma do quociente de diferença de uma função. Definimos a função
Então
. Note que a expressão do enunciado é exatamente
portanto o limite pedido é o derivada de
em
, isto é
Agora vou explicar rapidamente o que é derivada pela definição: a derivada de uma função
em um ponto
é
quando esse limite existe. Aqui
é o ponto onde avaliamos a derivada (no nosso caso
),
é a variação em
e a fração mede a taxa média de variação de
em torno de
; o limite quando
dá a taxa instantânea de variação.
Passo 3
Apesar de podermos usar regras de derivação para obter
, é mais direto simplificar algebricamente a expressão do limite. Começamos manipulando o numerador:
Substituindo no quociente original:
Passo 4
Continuando a simplificação, dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Agora cancele um fator
(válido para
, e no limite isso é permitido):
Passo 5
Agora calcule o limite da expressão simplificada quando
:
Como
tende para
quando
e o numerador
tende para
, o limite é
Passo 6
Para confirmar e treinar outra técnica, podemos também obter a derivada de
usando a regra da cadeia: se
, então
Avaliando em
obtemos
o que confirma o resultado obtido pela simplificação algébrica. Ótimo — dois caminhos, mesma resposta.
Resposta
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