Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}+1}, & \text { se } x \leq 0, \\\\ 1-x^{2}, & \text { se } x>0\end{array}\right. em x_{0}=0
Como \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=1 e f(0)=1, a função é contínua em 0. Isso é necessário (mas não suficiente) para derivabilidade.
Passo 4
Calcular a derivada lateral à esquerda (limite do quociente diferencial quando nos aproximamos por valores negativos):\n
Usamos a expressão da rama esquerda para x\le 0: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}. Para x próximo de 0 pela esquerda, o quociente é
Concluir sobre derivabilidade e dar a derivada: \n
As derivadas laterais existem e são iguais: limite à esquerda =0 e limite à direita =0. Logo o limite central existe e vale 0.\n
Portanto f é derivável em x_{0}=0 e f'(0)=0.\n
Observação extra (útil para prova rápida): se preferir calcular usando as fórmulas de derivadas nas ramificações, para x<0
e avaliando a conduta em x\to 0^{-} dá 0. Para x>0,
f'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{2})=-2x,
e x\to 0^{+} também dá 0. Isso confirma o resultado obtido pelos quocientes diferenciais.\n
Vai dar certo na prova — respira — você já tem o passo a passo necessário.