Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}+1}, & \text { se } x \leq 0, \\\\ 1-x^{2}, & \text { se } x>0\end{array}\right. em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}+1}, & \text{se } x\le 0,\\[6pt] 1-x^{2}, & \text{se } x>0 \end{cases}
é derivável em x_{0}=0. Se for derivável, calcular f'(0).\n
Informações dadas importantes que vou usar: \n
  • A definição de f em x=0 vem da parte x\le 0, então f(0)=\dfrac{1}{0^{2}+1}=1.\n
  • Temos duas expressões diferentes para f: uma válida à esquerda de 0 (incluindo 0) e outra válida à direita de 0.]

Passo 2

O que significa "derivável em 0" e como checar na prova (aqui explico a ferramenta que vamos usar):\n
  • Por definição, f é derivável em 0 se o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe e é finito. Esse limite é o valor de f'(0).\n
  • Equivalentemente, é suficiente mostrar que existem os limites laterais
\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\quad\text{e}\quad\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
e que esses dois limites são iguais. Antes de calcular derivadas, sempre é bom checar continuidade em 0 (se não for contínua, não pode ser derivável).

Passo 3

Checar continuidade em 0 (porque derivabilidade implica continuidade):\n
  • Valor no ponto: f(0)=1 (usei a definição para x\le 0).\n
  • Limite pela esquerda ( x\to 0^{-}): como para x\le 0 vale f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}, temos
\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{1}{0+1}=1.
  • Limite pela direita ( x\to 0^{+}): para x>0 vale f(x)=1-x^{2}, então
\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(1-x^{2})=1-0=1.
  • Como \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=1 e f(0)=1, a função é contínua em 0. Isso é necessário (mas não suficiente) para derivabilidade.

Passo 4

Calcular a derivada lateral à esquerda (limite do quociente diferencial quando nos aproximamos por valores negativos):\n
Usamos a expressão da rama esquerda para x\le 0: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}. Para x próximo de 0 pela esquerda, o quociente é
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\dfrac{1}{x^{2}+1}-1}{x}.
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{x^{2}+1}-1}{x} = \frac{\dfrac{1-(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}{x} = \frac{\dfrac{-x^{2}}{x^{2}+1}}{x} = -\frac{x^{2}}{x(x^{2}+1)} = -\frac{x}{x^{2}+1}.
Agora tomamos o limite quando x\to 0^{-}:
\lim_{x\to 0^-}\Big(-\frac{x}{x^{2}+1}\Big)= -\frac{0}{0+1}=0.
Portanto a derivada lateral esquerda é 0.

Passo 5

Calcular a derivada lateral à direita (aproximação por valores positivos):\n
Usamos a expressão da rama direita para x>0: f(x)=1-x^{2}. O quociente é
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{1-x^{2}-1}{x}=\frac{-x^{2}}{x}=-x.
Tomando o limite quando x\to 0^{+}:
\lim_{x\to 0^+}(-x)=0.
Portanto a derivada lateral direita também é 0.

Passo 6

Concluir sobre derivabilidade e dar a derivada: \n
  • As derivadas laterais existem e são iguais: limite à esquerda =0 e limite à direita =0. Logo o limite central existe e vale 0.\n
  • Portanto f é derivável em x_{0}=0 e f'(0)=0.\n
    Observação extra (útil para prova rápida): se preferir calcular usando as fórmulas de derivadas nas ramificações, para x<0
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}},
e avaliando a conduta em x\to 0^{-} 0. Para x>0,
f'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{2})=-2x,
e x\to 0^{+} também dá 0. Isso confirma o resultado obtido pelos quocientes diferenciais.\n
Vai dar certo na prova — respira — você já tem o passo a passo necessário.

Resposta

A função é derivável em x_{0}=0 e f'(0)=0.

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