Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & \text { se } x \leq 0, \\\ x^{2}+1, & \text { se } x>0\end{array}\right. em x_{0}=0
e pede para determinar se f é derivável em x_{0}=0. Caso seja derivável, pede também o valor da derivada em 0.
Informações relevantes dadas: o valor de f à esquerda de 0 (é \cos x), o valor de f à direita de 0 (é x^{2}+1) e o ponto onde devemos investigar a derivabilidade (x_{0}=0).]
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar continuidade em x_{0}=0, porque uma função só pode ser derivável num ponto se for contínua nesse ponto. A condição de continuidade em 0 é que
\lim_{x\to0^-} f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+} f(x).
Calculamos cada termo. O valor da função em 0 vem da definição para x\le 0, então
Como \sin\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\sim \tfrac{h}{2} quando h\to0, o numerador é da ordem de h^{2} e portanto o quociente tende a 0. Mais formalmente, note que
(Obs.: este é também o resultado imediato sabendo que a derivada de \cos x é -\sin x, e em 0 dá -\sin 0=0. Mostrei acima por limite para ficar bem didático.)
Passo 4
Agora calculamos a derivada à direita em 0 pela definição:
f_{+}'(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h>0 pequeno, 0+h>0 e usamos f(x)=x^{2}+1. Então
(De novo, corresponde ao fato de que a derivada de x^{2}+1 é 2x, e em 0 vale 0. Mostrei por quociente incremental porque isso é a definição.)
Passo 5
Condição final para derivabilidade em um ponto: se a função é contínua em 0 e as derivadas laterais existem e são iguais, então a derivada em 0 existe e é esse valor comum. Aqui verificamos: a função é contínua em 0, f_{-}'(0)=0 e f_{+}'(0)=0. Como os dois lados coincidem, concluímos que f é derivável em 0 e