Determine a função derivada das funções.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função derivada da função
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
O que se pede: calcular, a derivada de com respeito a .
Passo 2
Vamos separar numerador e denominador para trabalhar com calma. Definimos:
Agora calculamos
e
usando a regra da potência para polinômios: para
, a derivada é
. Aplicando passo a passo:
- Para
: - a derivada de
é , - a derivada de
é .
Assim,
- a derivada de
- Para
: - a derivada de
é , - a derivada de
é , - a derivada de
é .
Assim,
- a derivada de
Passo 3
Para a derivada de uma quociente usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
é a derivada do numerador,
é a derivada do denominador e
é o quadrado do denominador original.
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula do quociente obtemos
Esta é a forma direta; agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo para deixar mais claro.
Passo 5
Expandimos cada produto no numerador:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 6
Agora subtraímos o segundo termo do primeiro (lembre que na fórmula vinha
):
Portanto o numerador simplificado é
.
Passo 7
Substituindo o numerador simplificado de volta sobre o denominador ao quadrado, a derivada final é
Observação rápida de prova: lembrar que
só está definida para valores de
em que
(pois o denominador original e o quadrado dele não podem ser zero).