Determine a função derivada das funções.
f(x)=\frac{2 x^{5}+1}{x^{2}-7 x+3}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função derivada da função
f(x)=\frac{2x^{5}+1}{x^{2}-7x+3}.
Informações dadas:
  • O numerador é \,2x^{5}+1.
  • O denominador é \,x^{2}-7x+3.
    O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f com respeito a x.

Passo 2

Vamos separar numerador e denominador para trabalhar com calma. Definimos:
u(x)=2x^{5}+1,\qquad v(x)=x^{2}-7x+3.
Agora calculamos u'(x) e v'(x) usando a regra da potência para polinômios: para x^{n}, a derivada é n x^{n-1}. Aplicando passo a passo:
  • Para u(x)=2x^{5}+1:
    • a derivada de 2x^{5} é 2\cdot 5x^{4}=10x^{4},
    • a derivada de 1 é 0.
      Assim,
    u'(x)=10x^{4}.
  • Para v(x)=x^{2}-7x+3:
    • a derivada de x^{2} é 2x,
    • a derivada de -7x é -7,
    • a derivada de 3 é 0.
      Assim,
    v'(x)=2x-7.

Passo 3

Para a derivada de uma quociente usamos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador, v'(x) é a derivada do denominador e \bigl(v(x)\bigr)^{2} é o quadrado do denominador original.

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' na fórmula do quociente obtemos
f'(x)=\frac{10x^{4}\,(x^{2}-7x+3)-(2x^{5}+1)\,(2x-7)}{(x^{2}-7x+3)^{2}}.
Esta é a forma direta; agora vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo para deixar mais claro.

Passo 5

Expandimos cada produto no numerador:
  • Primeiro termo: 10x^{4}\,(x^{2}-7x+3)=10x^{6}-70x^{5}+30x^{4}.
  • Segundo termo: (2x^{5}+1)\,(2x-7)=4x^{6}-14x^{5}+2x-7.

Passo 6

Agora subtraímos o segundo termo do primeiro (lembre que na fórmula vinha 10x^{4}v-(2x^{5}+1)v'):
\begin{aligned} \text{numerador} &= (10x^{6}-70x^{5}+30x^{4}) - (4x^{6}-14x^{5}+2x-7)\\\ &=10x^{6}-70x^{5}+30x^{4}-4x^{6}+14x^{5}-2x+7\\\ &=6x^{6}-56x^{5}+30x^{4}-2x+7. \end{aligned}
Portanto o numerador simplificado é \,6x^{6}-56x^{5}+30x^{4}-2x+7.

Passo 7

Substituindo o numerador simplificado de volta sobre o denominador ao quadrado, a derivada final é
f'(x)=\frac{6x^{6}-56x^{5}+30x^{4}-2x+7}{(x^{2}-7x+3)^{2}}.
Observação rápida de prova: lembrar que f'(x) só está definida para valores de x em que x^{2}-7x+3\neq 0 (pois o denominador original e o quadrado dele não podem ser zero).

Resposta

f'(x)=\frac{6x^{6}-56x^{5}+30x^{4}-2x+7}{(x^{2}-7x+3)^{2}}

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