Cada função abaixo é suposta 2 \pi-periódica. Encontre a série de Fourier de f.
f(x)=x^{3}, \quad-\pi<x<\pi,

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a série de Fourier 2\pi-periódica da função dada por f(x)=x^{3} para -\pi<x<\pi.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3} no intervalo -\pi<x<\pi.
  • A extensão é 2\pi-periódica (ou seja, a série deve representar essa função periódica).
  • Objetivo: determinar os coeficientes da série de Fourier (e assim obter a série).

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula geral da série de Fourier para uma função 2\pi-periódica e integrável em [-\pi,\pi]. A série tem a forma
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad(n\ge1),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad(n\ge1).
Explicando rapidamente: a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(nx) e b_n mede a projeção sobre \sin(nx). As funções seno e cosseno são ortogonais no intervalo [-\pi,\pi], o que permite isolar esses coeficientes por integrais.

Passo 3

Observação de paridade (muito útil para simplificar): a função f(x)=x^3 é ímpar, pois f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). Propriedades úteis para funções pares/ímpares:
  • Se f é ímpar, então a_0=0 e a_n=0 para todo n (porque o produto de uma função ímpar com um cosseno — que é par — é ímpar, e a integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero).
  • Se f é ímpar, os coeficientes b_n não necessariamente são zero; como \sin(nx) é ímpar, o produto f(x)\sin(nx) é par e gera integrais possivelmente não nulas.
Portanto já temos
a_0=0,\qquad a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Vamos calcular b_n. Pela definição,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^3\sin(nx)\,dx.
Como o integrando x^3\sin(nx) é par (produto de duas ímpares), podemos reduzir a integral ao intervalo [0,\pi]:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^3\sin(nx)\,dx.
Denotemos
I_n=\int_{0}^{\pi} x^3\sin(nx)\,dx.
Nosso objetivo agora é calcular I_n explicitamente.

Passo 5

Cálculo de I_n=\int_{0}^{\pi} x^3\sin(nx)\,dx por integrações por partes repetidas.
Primeira integração por partes: escolha u=x^3 e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=3x^2\,dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
I_n=\left.-\frac{x^3\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{3}{n}\int_{0}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx.
Avaliações das fronteiras: em x=0 o termo é zero; em x=\pi obtém-se -\dfrac{\pi^3\cos(n\pi)}{n}. Logo
I_n=-\frac{\pi^3\cos(n\pi)}{n}+\frac{3}{n}\,J_n,
onde definimos
J_n=\int_{0}^{\pi} x^2\cos(nx)\,dx.
Segunda integração por partes para J_n: tome u=x^2, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
J_n=\left.\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Os termos de fronteira envolvem \sin(n\pi)=0 e \sin(0)=0, portanto a primeira parcela é zero e
J_n=-\frac{2}{n}K_n,
onde
K_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Terceira integração por partes para K_n: escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Logo
K_n=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
A primeira parcela é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n} (em 0 fica zero). A segunda integral é \dfrac{1}{n}[\sin(nx)/n]_0^\pi, mas \sin(n\pi)=0, então essa segunda parte é zero. Assim
K_n=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
Agora voltamos calculando J_n e I_n. Substituindo K_n em J_n:
J_n=-\frac{2}{n}K_n=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}\right)=\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n^2}.
Substituindo J_n em I_n:
I_n=-\frac{\pi^3\cos(n\pi)}{n}+\frac{3}{n}\cdot\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n^2}.
Fatorando \cos(n\pi) e simplificando:
I_n=\cos(n\pi)\left(-\frac{\pi^3}{n}+\frac{6\pi}{n^3}\right).
Lembrando que \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
I_n=(-1)^n\left(-\frac{\pi^3}{n}+\frac{6\pi}{n^3}\right).

Passo 6

Agora voltamos para b_n. Lembrando que b_n=\dfrac{2}{\pi}I_n, temos
b_n=\frac{2}{\pi}\,(-1)^n\left(-\frac{\pi^3}{n}+\frac{6\pi}{n^3}\right).
Simplificando os fatores:
b_n=(-1)^n\left(-\frac{2\pi^2}{n}+\frac{12}{n^3}\right).
Podemos escrever numa forma mais bonita fatorando 2(-1)^{n+1}:
b_n=2(-1)^{n+1}\left(\frac{\pi^2}{n}-\frac{6}{n^3}\right).
Recordando que a_0=0 e a_n=0 para todo n, concluímos que só há termos de seno na série.

Resposta

x^{3}=\sum_{n=1}^{\infty}2(-1)^{n+1}\!\left(\frac{\pi^{2}}{n}-\frac{6}{n^{3}}\right)\sin(nx),\qquad -\pi<x<\pi.

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