Explicando rapidamente: a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(nx) e b_n mede a projeção sobre \sin(nx). As funções seno e cosseno são ortogonais no intervalo [-\pi,\pi], o que permite isolar esses coeficientes por integrais.
Passo 3
Observação de paridade (muito útil para simplificar): a função f(x)=x^3 é ímpar, pois f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). Propriedades úteis para funções pares/ímpares:
Se f é ímpar, então a_0=0 e a_n=0 para todo n (porque o produto de uma função ímpar com um cosseno — que é par — é ímpar, e a integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero).
Se f é ímpar, os coeficientes b_n não necessariamente são zero; como \sin(nx) é ímpar, o produto f(x)\sin(nx) é par e gera integrais possivelmente não nulas.
A primeira parcela é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n} (em 0 fica zero). A segunda integral é \dfrac{1}{n}[\sin(nx)/n]_0^\pi, mas \sin(n\pi)=0, então essa segunda parte é zero. Assim
K_n=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
Agora voltamos calculando J_n e I_n. Substituindo K_n em J_n: