1. Determine uma função M(x, y) para que a equação diferencial seja exata
M(x, y) d x+\left(x e^{x y}+2 x y+\frac{1}{x}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
M(x,y)\,dx + \bigl(xe^{xy} + 2xy + x^{-1}\bigr)\,dy = 0
e pede para determinar M(x,y) de modo que a equação seja exata. Para isso usamos o critério de exatidão: se chamarmos
N(x,y) = x e^{xy} + 2xy + x^{-1},
então a equação é exata se, e somente se,
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos \partial N/\partial x.
Em primeiro lugar,
N(x,y)=x e^{xy}+2xy+x^{-1}.
Logo,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe^{xy}\bigr) =e^{xy}+x\cdot e^{xy}\,y =e^{xy}(1+xy),
\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x^{-1})=-x^{-2}.
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x} =e^{xy}(1+xy)+2y - x^{-2}.

Passo 3

Impondo a condição de exatidão, temos
\frac{\partial M}{\partial y} =e^{xy}(1+xy)+2y - x^{-2}.
Para encontrar M(x,y) integramos em relação a y:
M(x,y) =\int\bigl(e^{xy}(1+xy)+2y - x^{-2}\bigr)\,dy + h(x),
onde h(x) é uma “constante” de integração que depende só de x.

Passo 4

Resolvendo a integral em y:
o termo e^{xy}(1+xy) é a derivada de y\,e^{xy},
\int2y\,dy=y^2 e
\int(-x^{-2})\,dy=-y\,x^{-2}.
Logo
M(x,y) =y\,e^{xy} + y^2 - \frac{y}{x^2} + h(x).

Resposta

Uma escolha conveniente (tomando h(x)=0) é
M(x,y)=y\,e^{xy} + y^2 - \frac{y}{x^2}.
Em geral, adicionando uma função arbitrária de x, qualquer
M(x,y)=y\,e^{xy} + y^2 - \frac{y}{x^2} + h(x)
torna a equação exata.

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