- Determine uma função
para que a equação diferencial seja exata
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar
de modo que a equação seja exata. Para isso usamos o critério de exatidão: se chamarmos
então a equação é exata se, e somente se,
Passo 2
Calculemos
.
Em primeiro lugar,
Em primeiro lugar,
Logo,
Portanto
Passo 3
Impondo a condição de exatidão, temos
Para encontrar
integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que depende só de
.
Passo 4
Resolvendo a integral em
:
o termo é a derivada de
,
e
.
Logo
o termo
Logo
Resposta
Uma escolha conveniente (tomando
) é
Em geral, adicionando uma função arbitrária de
, qualquer
torna a equação exata.