Determine se a função
f(x, y, z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
é contínua em
(0,0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
e pergunta se ela é contínua em (0,0,0).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão de f está escrita para pontos (x,y,z) onde o denominador não é zero.
  • O ponto em questão é (0,0,0), onde o denominador vale \sqrt{0+0+0}=0.
O que se pede:
  • Determinar se f é contínua em (0,0,0).

Passo 2

Relembre a definição de continuidade num ponto (explicando passo a passo, como se fosse na prova):
  • Uma função g é contínua em um ponto a se e somente se (i) g está definida em a, (ii) \lim_{x\to a} g(x) existe e (iii) \lim_{x\to a} g(x)=g(a).
  • Ou, em palavras mais simples: primeiro a função precisa ter um valor no ponto; depois o comportamento dos valores próximos ao ponto deve tender para esse valor.
Logo, para saber se f é contínua em (0,0,0) devo:
  1. Verificar se f(0,0,0) existe.
  2. Se não existir, já posso afirmar que, como está dada, f não é contínua aí.
  3. Mesmo assim é comum (e útil na prova) calcular \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z) para ver se a descontinuidade é removível (isto é, se definindo um valor apropriado em (0,0,0) a função fica contínua).

Passo 3

Verificar se f está definida em (0,0,0).
Calcule o denominador em (0,0,0):
\sqrt{0^{2}+0^{2}+0^{2}}=0.
A expressão dada tem divisão por esse número, ou seja, é divisão por zero. Portanto f(0,0,0) não está definida. Conclusão imediata (pela definição de continuidade): tal como a função foi apresentada, ela não é contínua em (0,0,0).

Passo 4

Agora vamos verificar o limite \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z). Isso ajuda a ver se a descontinuidade é removível (útil na prova).
Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Note que r\ge0 e que r\to 0 equivale a (x,y,z)\to(0,0,0).
Observe que
x^{2}+y^{2}\le x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.
Dividindo ambos os lados por r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} (para pontos diferentes da origem, onde r>0), obtemos
0\le \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\le \frac{r^{2}}{r}=r.
Em notação com a função,
0\le f(x,y,z)\le r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\to 0 quando (x,y,z)\to(0,0,0), o lado direito r tende a 0. Pelo teorema do sanduíche (teorema do confronto), temos
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=0.
Para ser bem formal na prova, pode-se também provar por \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta, então |f(x,y,z)|=f(x,y,z)\le r<\delta=\varepsilon. Logo a definição de limite é satisfeita e o limite é 0.

Passo 5

Interpretação final e conclusão (passo a passo para usar na prova):
  • A função, tal como está dada, não tem valor em (0,0,0) (divisão por zero), portanto não é contínua aí.
  • Entretanto o limite \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z) existe e vale 0. Isso significa que a descontinuidade em (0,0,0) é removível: se definíssemos
\tilde f(0,0,0)=0
e \tilde f(x,y,z)=f(x,y,z) para (x,y,z)\neq(0,0,0), então \tilde f seria contínua em (0,0,0).

Resposta

Não — a função dada não é contínua em (0,0,0) porque não está definida aí.
No entanto \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=0, logo a descontinuidade é removível (definindo f(0,0,0)=0 obtém-se continuidade).

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