Determine se a função
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pergunta se ela é contínua em
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A expressão de
está escrita para pontos onde o denominador não é zero. - O ponto em questão é
, onde o denominador vale .
O que se pede:
- Determinar se
é contínua em .
Passo 2
Relembre a definição de continuidade num ponto (explicando passo a passo, como se fosse na prova):
- Uma função
é contínua em um ponto se e somente se (i) está definida em , (ii) existe e (iii) . - Ou, em palavras mais simples: primeiro a função precisa ter um valor no ponto; depois o comportamento dos valores próximos ao ponto deve tender para esse valor.
Logo, para saber se
é contínua em
devo:
- Verificar se
existe. - Se não existir, já posso afirmar que, como está dada,
não é contínua aí. - Mesmo assim é comum (e útil na prova) calcular
para ver se a descontinuidade é removível (isto é, se definindo um valor apropriado em a função fica contínua).
Passo 3
Verificar se
está definida em
.
Calcule o denominador em
:
A expressão dada tem divisão por esse número, ou seja, é divisão por zero. Portanto
não está definida. Conclusão imediata (pela definição de continuidade): tal como a função foi apresentada, ela não é contínua em
.
Passo 4
Agora vamos verificar o limite
. Isso ajuda a ver se a descontinuidade é removível (útil na prova).
Defina
Note que
e que
equivale a
.
Observe que
Dividindo ambos os lados por
(para pontos diferentes da origem, onde
), obtemos
Em notação com a função,
Como
quando
, o lado direito
tende a
. Pelo teorema do sanduíche (teorema do confronto), temos
Para ser bem formal na prova, pode-se também provar por
-
: dado
, escolha
. Se
, então
. Logo a definição de limite é satisfeita e o limite é
.
Passo 5
Interpretação final e conclusão (passo a passo para usar na prova):
- A função, tal como está dada, não tem valor em
(divisão por zero), portanto não é contínua aí. - Entretanto o limite
existe e vale . Isso significa que a descontinuidade em é removível: se definíssemos
e
para
, então
seria contínua em
.
Resposta
Não — a função dada não é contínua em
porque não está definida aí.
No entanto , logo a descontinuidade é removível (definindo
obtém-se continuidade).
No entanto