Determine se a função
é convexa, côncava ou nenhuma delas.
Passo 1
O enunciado fornece a função
de duas variáveis
e pede para determinar se
é convexa, côncava ou nenhuma das duas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todos
(pois a exponencial é definida em toda reta). - Precisamos decidir, globalmente, se
é convexa, côncava ou nenhuma das duas.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Lembre: derivada parcial em relação a
trata os outros
como constantes. É útil definir
para abreviar.
Escrevendo
.
Cálculo de
:
Como
(pois
depende de
linearmente),
Cálculo de
:
Portanto o gradiente é
Passo 3
Agora calculamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana). A Hessiana
é a matriz
cujos elementos são
.
Calculemos cada entrada, derivando as componentes do gradiente:
-
Usando regra do produto e,
-
Aquié tratado como constante; só depende de , então
-
Pela simetria das segundas derivadas (função
), temos -
Derivando, comconstante,
Passo 4
Juntando as entradas, a Hessiana fica
Observação importante:
para todo
, então o sinal (positividade / negatividade / indefinição) da Hessiana é determinado pela matriz interior
isto é,
.]
Passo 5
Lembrete teórico (explicado com calma): para funções duas vezes diferenciáveis,
- se
é semidefinida positiva para todo (isto é, para todo e todo ), então é convexa; - se
é semidefinida negativa para todo , então é côncava; - se em algum ponto
tem autovalores de sinais opostos (isto é, é indefinida), então a função não pode ser convexa nem côncava naquele ponto (nem globalmente nas vizinhanças).
Para uma matriz
simétrica
, o determinante
é o produto dos autovalores. Se
, os autovalores têm sinais opostos e a matriz é indefinida.
Passo 6
Calculemos o determinante da matriz interior
:
Expandindo:
Observação: esse valor é constante e igual a
para todo
. Portanto
sempre. Como
, temos
para todo
.
Conclusão técnica imediata: em qualquer ponto
a Hessiana
tem autovalores de sinais opostos (produto negativo), logo
é indefinida em todo o domínio. Assim,
não é convexa nem côncava.
Para ficar mais concreto (exemplo numérico didático): escolha o ponto
. Então
e
Tomando o vetor
obtém-se
enquanto para
Ou seja, há direções com curvatura negativa e direções com curvatura positiva no mesmo ponto — característica de Hessiana indefinida.]
Passo 7
Pelo resultado acima (determinante da matriz interior igual a
e fator exponencial positivo), a Hessiana é indefinida em todo
. Logo
não satisfaz a condição de convexidade nem a de concavidade em todo o domínio; portanto a função não é convexa nem côncava.
Resposta
A função não é convexa nem côncava.