Determine se a função f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1} e^{-\left(x_{1}+x_{2}\right)} é convexa, côncava ou nenhuma delas.

Passo 1

O enunciado fornece a função f de duas variáveis
f(x_{1},x_{2}) = x_{1} e^{-(x_{1}+x_{2})}
e pede para determinar se f é convexa, côncava ou nenhuma das duas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todos (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2} (pois a exponencial é definida em toda reta).
  • Precisamos decidir, globalmente, se f é convexa, côncava ou nenhuma das duas.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Lembre: derivada parcial em relação a x_{i} trata os outros x_{j} como constantes. É útil definir \;s = x_{1}+x_{2}\; para abreviar.
Escrevendo f(x_{1},x_{2}) = x_{1} e^{-s}.
Cálculo de \partial f/\partial x_{1}:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = \frac{\partial}{\partial x_{1}}\big(x_{1} e^{-s}\big) = e^{-s} + x_{1}\frac{\partial}{\partial x_{1}}(e^{-s}).
Como \frac{\partial}{\partial x_{1}}(e^{-s}) = -e^{-s} (pois s depende de x_{1} linearmente),
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = e^{-s} - x_{1} e^{-s} = e^{-s}(1 - x_{1}).
Cálculo de \partial f/\partial x_{2}:
\frac{\partial f}{\partial x_{2}} = x_{1}\frac{\partial}{\partial x_{2}}(e^{-s}) = x_{1}(-e^{-s}) = -x_{1} e^{-s}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x_{1},x_{2}) = \begin{pmatrix} e^{-s}(1-x_{1}) \\[4pt] -x_{1} e^{-s} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana). A Hessiana H é a matriz 2\times2 cujos elementos são H_{ij} = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}.
Calculemos cada entrada, derivando as componentes do gradiente:
  1. \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} = \frac{\partial}{\partial x_{1}}\big(e^{-s}(1-x_{1})\big).
    Usando regra do produto e \frac{\partial}{\partial x_{1}}(e^{-s})=-e^{-s},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} = -e^{-s}(1-x_{1}) + e^{-s}(-1) = e^{-s}(x_{1}-2).
  1. \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = \frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(e^{-s}(1-x_{1})\big).
    Aqui x_{1} é tratado como constante; só e^{-s} depende de x_{2}, então
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = -e^{-s}(1-x_{1}) = e^{-s}(x_{1}-1).
  1. Pela simetria das segundas derivadas (função C^{2}), temos \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = e^{-s}(x_{1}-1).
  2. \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} = \frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(-x_{1} e^{-s}\big).
    Derivando, com x_{1} constante,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} = -x_{1}(-e^{-s}) = x_{1} e^{-s}.

Passo 4

Juntando as entradas, a Hessiana fica
H(x_{1},x_{2}) = e^{-s} \begin{pmatrix} x_{1}-2 & x_{1}-1 \\\ x_{1}-1 & x_{1} \end{pmatrix}, \qquad\text{onde }\; s = x_{1}+x_{2}.
Observação importante: e^{-s}>0 para todo s, então o sinal (positividade / negatividade / indefinição) da Hessiana é determinado pela matriz interior
A(x_{1}) = \begin{pmatrix} x_{1}-2 & x_{1}-1 \\[4pt] x_{1}-1 & x_{1} \end{pmatrix},
isto é, H = e^{-s} A.]

Passo 5

Lembrete teórico (explicado com calma): para funções duas vezes diferenciáveis,
  • se H(x) é semidefinida positiva para todo x (isto é, z^{T}H(x)z\ge 0 para todo z e todo x), então f é convexa;
  • se H(x) é semidefinida negativa para todo x, então f é côncava;
  • se em algum ponto H tem autovalores de sinais opostos (isto é, é indefinida), então a função não pode ser convexa nem côncava naquele ponto (nem globalmente nas vizinhanças).
Para uma matriz 2\times2 simétrica A=\begin{pmatrix} a & b \\\ b & c \end{pmatrix}, o determinante \det(A)=ac-b^{2} é o produto dos autovalores. Se \det(A)<0, os autovalores têm sinais opostos e a matriz é indefinida.

Passo 6

Calculemos o determinante da matriz interior A(x_{1}):
\det\big(A(x_{1})\big) = (x_{1}-2)(x_{1}) - (x_{1}-1)^{2}.
Expandindo:
\det\big(A(x_{1})\big) = x_{1}^{2} - 2x_{1} - \big(x_{1}^{2} - 2x_{1} +1\big) = -1.
Observação: esse valor é constante e igual a -1 para todo x_{1}. Portanto \det(A) = -1 < 0 sempre. Como e^{-s}>0, temos \det(H) = e^{-2s}\det(A) < 0 para todo (x_{1},x_{2}).
Conclusão técnica imediata: em qualquer ponto (x_{1},x_{2}) a Hessiana H tem autovalores de sinais opostos (produto negativo), logo H é indefinida em todo o domínio. Assim, f não é convexa nem côncava.
Para ficar mais concreto (exemplo numérico didático): escolha o ponto (x_{1},x_{2})=(\tfrac{1}{2},0). Então s=\tfrac{1}{2} e
H\big(\tfrac{1}{2},0\big)=e^{-1/2} \begin{pmatrix} -1{,}5 & -0{,}5\\[4pt] -0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.
Tomando o vetor v_{1}=(1,0) obtém-se
v_{1}^{T} H v_{1} = e^{-1/2}(-1{,}5) < 0,
enquanto para v_{2}=(0,1)
v_{2}^{T} H v_{2} = e^{-1/2}(0{,}5) > 0.
Ou seja, há direções com curvatura negativa e direções com curvatura positiva no mesmo ponto — característica de Hessiana indefinida.]

Passo 7

Pelo resultado acima (determinante da matriz interior igual a -1 e fator exponencial positivo), a Hessiana é indefinida em todo \mathbb{R}^{2}. Logo f não satisfaz a condição de convexidade nem a de concavidade em todo o domínio; portanto a função não é convexa nem côncava.

Resposta

A função não é convexa nem côncava.

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