Determine se a função
é convexa, côncava ou nenhuma delas.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a função
é convexa, côncava ou nenhuma das anteriores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há restrição sobre
, então a função está definida em todo
. A função é polinomial (logo duas vezes diferenciável), o que permite usar derivadas segundas e a matriz Hessiana para analisar convexidade/côncavidade.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): para uma função duas vezes continuamente diferenciável
, uma forma prática de testar convexidade/côncavidade é olhar para a matriz Hessiana, que reúne todas as segundas derivadas parciais. A definição da Hessiana é:
- Se
for positiva semidefinida para todo , então é convexa. - Se
for negativa semidefinida para todo , então é côncava. - Se a Hessiana não for semidefinida (por exemplo, tiver autovalores de sinais opostos), a função não é nem convexa nem côncava.
Como nossa função é quadrática, a Hessiana será constante (independe de
), o que simplifica muito: basta analisar a matriz constante.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem (só para mostrar o caminho até as segundas):
Passo 4
Agora as segundas derivadas parciais (essas formam a Hessiana). Calculando cada uma:
Portanto, a Hessiana é a matriz simétrica constante
Passo 5
Agora precisamos verificar se
é positiva semidefinida, negativa semidefinida ou indefinida. Vou usar dois critérios simples e confiáveis para matrizes
:
Critério por menores principais (Sylvester, aplicado aqui): para uma matriz simétrica
,
- ser positiva definida exige
e ; - ser positiva semidefinida exige
e (para isto é equivalente); - ser negativa definida exige
e ; - ser negativa semidefinida exige
e .
Apliquemos a isto com
,
,
:
O determinante é
Como
, a matriz não satisfaz
. Logo
não é positiva semidefinida. Também não pode ser negativa semidefinida (pois
, e para negativa semidefinida precisaríamos de
). Portanto
não é nem positiva semidefinida nem negativa semidefinida.
Isto já indica que
é indefinida (tem autovalores de sinais opostos), e portanto a função
não é convexa nem côncava.
Passo 6
Para ser bem completo e dar intuição — podemos confirmar encontrando os autovalores de
. O polinômio característico é
Resolvendo
obtemos
Assim os autovalores são
e
. Como há um autovalor positivo e outro negativo,
é indefinida — reforçando que
não é nem convexa nem côncava.]
Resposta
A função não é convexa nem côncava.