Determine se a função f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}-10 x_{1}+5 x_{2} é convexa, côncava ou nenhuma delas.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a função f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}-10x_{1}+5x_{2} é convexa, côncava ou nenhuma das anteriores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}-10x_{1}+5x_{2}.
Não há restrição sobre (x_{1},x_{2}), então a função está definida em todo \mathbb{R}^{2}. A função é polinomial (logo duas vezes diferenciável), o que permite usar derivadas segundas e a matriz Hessiana para analisar convexidade/côncavidade.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): para uma função duas vezes continuamente diferenciável f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}, uma forma prática de testar convexidade/côncavidade é olhar para a matriz Hessiana, que reúne todas as segundas derivadas parciais. A definição da Hessiana é:
\text{Hess}(f)(x)=\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(x)\right)_{i,j}.
  • Se \text{Hess}(f)(x) for positiva semidefinida para todo x, então f é convexa.
  • Se \text{Hess}(f)(x) for negativa semidefinida para todo x, então f é côncava.
  • Se a Hessiana não for semidefinida (por exemplo, tiver autovalores de sinais opostos), a função não é nem convexa nem côncava.
Como nossa função é quadrática, a Hessiana será constante (independe de (x_{1},x_{2})), o que simplifica muito: basta analisar a matriz constante.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem (só para mostrar o caminho até as segundas):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=2x_{1}+2x_{2}-10,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=2x_{1}+5.

Passo 4

Agora as segundas derivadas parciais (essas formam a Hessiana). Calculando cada uma:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=2,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}=0.
Portanto, a Hessiana é a matriz simétrica constante
H=\text{Hess}(f)=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora precisamos verificar se H é positiva semidefinida, negativa semidefinida ou indefinida. Vou usar dois critérios simples e confiáveis para matrizes 2\times2:
Critério por menores principais (Sylvester, aplicado aqui): para uma matriz simétrica
\begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix},
  • ser positiva definida exige a>0 e \det>0;
  • ser positiva semidefinida exige a\ge0,\; c\ge0 e \det\ge0 (para 2\times2 isto é equivalente);
  • ser negativa definida exige a<0 e \det>0;
  • ser negativa semidefinida exige a\le0,\; c\le0 e \det\ge0.
Apliquemos a isto com a=2, b=2, c=0:
\text{menor principal de ordem 1 } = a = 2 > 0.
O determinante é
\det(H)=2\cdot 0 - 2\cdot 2 = -4.
Como \det(H)=-4<0, a matriz não satisfaz \det\ge0. Logo H não é positiva semidefinida. Também não pode ser negativa semidefinida (pois a=2>0, e para negativa semidefinida precisaríamos de a\le0). Portanto H não é nem positiva semidefinida nem negativa semidefinida.
Isto já indica que H é indefinida (tem autovalores de sinais opostos), e portanto a função f não é convexa nem côncava.

Passo 6

Para ser bem completo e dar intuição — podemos confirmar encontrando os autovalores de H. O polinômio característico é
\det(H-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-\lambda)-4=-2\lambda+\lambda^{2}-4=\lambda^{2}-2\lambda-4.
Resolvendo \lambda^{2}-2\lambda-4=0 obtemos
\lambda = \frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5}.
Assim os autovalores são \lambda_{1}=1+\sqrt{5}>0 e \lambda_{2}=1-\sqrt{5}<0. Como há um autovalor positivo e outro negativo, H é indefinida — reforçando que f não é nem convexa nem côncava.]

Resposta

A função não é convexa nem côncava.

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