Determine uma função f tal que
\nabla f(x, y)=\left(3 x^{2}+y^{3}+y e^{x y}\right) \boldsymbol{i}+\left(-\mathbf{2} y^{2}+3 x y^{2}+x e^{x y}\right) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado pede uma função f(x,y) tal que
\nabla f(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)
onde
P(x,y)=3x^{2}+y^{3}+y\,e^{xy}, \quad Q(x,y)=-2y^{2}+3x\,y^{2}+x\,e^{xy}.
O conteúdo é achar o potencial de um campo vetorial conservativo. Vamos primeiro verificar se o campo é conservativo (compatibilidade de derivadas parciais) e depois integrar componentes.

Passo 2

Verificamos se
\frac{\partial P}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}
são iguais.
Calculando
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+y^{3}+y\,e^{xy}\bigr) =3y^{2}+\Bigl(e^{xy}+y\cdot x\,e^{xy}\Bigr) =3y^{2}+e^{xy}+x y\,e^{xy},
e
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2y^{2}+3x\,y^{2}+x\,e^{xy}\bigr) =3y^{2}+\Bigl(e^{xy}+x\,y\,e^{xy}\Bigr) =3y^{2}+e^{xy}+x y\,e^{xy}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Integramos P=\partial f/\partial x em relação a x:
f(x,y) =\int\bigl(3x^{2}+y^{3}+y\,e^{xy}\bigr)\,dx =\int 3x^{2}\,dx+\int y^{3}\,dx+\int y\,e^{xy}\,dx.
Fazendo cada termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}, \quad \int y^{3}\,dx = x\,y^{3}, \quad \int y\,e^{xy}\,dx = e^{xy}
(porque \tfrac{d}{dx}e^{xy}=y\,e^{xy}).
Logo
f(x,y)=x^{3}+x\,y^{3}+e^{xy}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração em relação a x.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos f em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial f}{\partial y} =3x\,y^{2}+x\,e^{xy}+h'(y) \stackrel{!}{=}-2y^{2}+3x\,y^{2}+x\,e^{xy}.
Daí vem
h'(y)=-2y^{2},
e integrando em y:
h(y)=\int(-2y^{2})\,dy=-\frac{2}{3}y^{3}+C.
Substituindo em f, obtemos a forma geral do potencial.

Resposta

f(x,y) =x^{3}+x\,y^{3}+e^{xy}-\frac{2}{3}y^{3}+C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados