Nos problemas 11-14, determine a derivada direcional da função dada no ponto especificado e na direção indicada.
f(x, y, z)=\sqrt[2]{x^{2} y+2 y^{2} z}; (-2; 2, 1); na direção do eixo z negativo

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}y+2y^{2}z}
no ponto (-2,2,1) na direção do eixo z negativo. Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional via gradiente:
D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u,
onde \mathbf u é o vetor unitário que indica a direção desejada.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f. Defina
g(x,y,z)=x^{2}y+2y^{2}z,
logo f=\sqrt{g}=g^{1/2}. Pelas derivadas parciais e a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot(2xy) =\frac{xy}{\sqrt{g}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot\bigl(x^{2}+4yz\bigr) =\frac{x^{2}+4yz}{2\sqrt{g}},
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot\frac{\partial g}{\partial z} =\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot(2y^{2}) =\frac{y^{2}}{\sqrt{g}}.

Passo 3

Avalie \nabla f em P=(-2,2,1). Primeiro calcule g(P):
g(-2,2,1)=(-2)^{2}\cdot2+2\cdot2^{2}\cdot1=8+8=16,
logo \sqrt{g(P)}=4. Então
f_{x}(P)=\frac{(-2)\cdot2}{4}=-1,\quad f_{y}(P)=\frac{4+4\cdot2\cdot1}{2\cdot4}=\frac{12}{8}=\tfrac{3}{2},\quad f_{z}(P)=\frac{2^{2}}{4}=1.
Assim \nabla f(P)=(-1,\tfrac{3}{2},1).

Passo 4

A direção do eixo z negativo corresponde ao vetor unitário
\mathbf u=(0,0,-1).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf u}f(P) =\nabla f(P)\cdot\mathbf u =(-1,\,\tfrac{3}{2},\,1)\cdot(0,0,-1) =1\cdot(-1)=-1.

Resposta

-1

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