Determine a função do tempo, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
(e) \frac{s+1}{s^{2}+5 s+6}, \quad-3<\operatorname{Re}\{s\}<-2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
X(s)=\frac{s+1}{s^{2}+5s+6}
com região de convergência -3<\Re\{s\}<-2.
O conteúdo é transformada inversa de Laplace bilateral; vamos precisar fatorar o denominador, fazer frações parciais e usar as tabelas de pares bilaterais com u(t) e u(-t).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^{2}+5s+6=(s+2)(s+3).
Os polos são s=-2 e s=-3. A ROC -3<\Re\{s\}<-2 está entre os polos, o que indica termo associado a s=-3 é causal ( u(t)) e termo associado a s=-2 é anti-causal ( u(-t)).

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.
Temos
s+1=A(s+3)+B(s+2)=(A+B)\,s+(3A+2B),
logo
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 3A+2B=1, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad A=-1,\;B=2.
Assim
X(s)=-\frac{1}{s+2}+\frac{2}{s+3}.

Passo 4

Usamos os pares bilaterais:
  1. \displaystyle -\frac{1}{s+2} com ROC \Re\{s\}<-2 corresponde a
e^{-2t}\,u(-t).
  1. \displaystyle \frac{2}{s+3} com ROC \Re\{s\}>-3 corresponde a
2\,e^{-3t}\,u(t).

Resposta

x(t)=2\,e^{-3t}\,u(t)\;+\;e^{-2t}\,u(-t),
com região de convergência -3<\Re\{s\}<-2.

Exercícios relacionados