Determine a função do tempo, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
(f) \frac{(s+1)^{2}}{s^{2}-s+1}, \quad \operatorname{Re}\{s\}>\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a função no tempo x(t) cuja transformada de Laplace é
X(s)=\frac{(s+1)^{2}}{s^{2}-s+1}
com região de convergência \operatorname{Re}\{s\}>\tfrac12.
O conteúdo aqui é inversão de Laplace usando divisão polinomial e identificação de termos do tipo e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt), além de lembrar que a transformada de \delta(t) é 1.

Passo 2

Fazemos divisão de polinômios entre (s+1)^2 e s^2 - s +1:
\frac{(s+1)^2}{s^2 - s +1} =1 \;+\;\frac{(s+1)^2 - (s^2 - s +1)}{s^2 - s +1} =1 + \frac{3s}{s^2 - s +1}.

Passo 3

Para tratar o segundo termo, completamos o quadrado no denominador:
s^2 - s +1 = \Bigl(s-\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2.
Escrevemos o numerador 3s como
3s = 3\Bigl[(s-\tfrac12)+\tfrac12\Bigr] =3(s-\tfrac12) + \tfrac{3}{2}.
Logo,
\frac{3s}{s^2 - s +1} =\frac{3(s-\tfrac12)}{(s-\tfrac12)^2 + (\tfrac{\sqrt3}{2})^2} \;+\;\frac{\tfrac{3}{2}}{(s-\tfrac12)^2 + (\tfrac{\sqrt3}{2})^2}.

Passo 4

Reconhecemos fórmulas conhecidas de transformadas:
  1. \displaystyle \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.
  2. \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}.
  3. \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.
Aplicando a inversa em cada termo:
  • A inversa de 1 é \delta(t).
  • A inversa de
    \displaystyle\frac{3(s-\tfrac12)}{(s-\tfrac12)^2+(\tfrac{\sqrt3}{2})^2}
    é 3\,e^{\tfrac12 t}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\,u(t).
  • A inversa de
    \displaystyle\frac{\tfrac{3}{2}}{(s-\tfrac12)^2+(\tfrac{\sqrt3}{2})^2}
    é \frac{3}{2}\,\frac{2}{\sqrt3}\;e^{\tfrac12 t}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\,u(t) =\sqrt3\,e^{\tfrac12 t}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\,u(t).

Passo 5

Somando tudo, obtemos
x(t)=\delta(t) \;+\;e^{\tfrac12 t}\Bigl[\,3\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) +\sqrt3\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\Bigr]u(t).

Resposta

x(t)=\delta(t) +e^{\tfrac12 t}\Bigl[\,3\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) +\sqrt3\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)\Bigr]\,u(t), \quad \text{ROC: }\operatorname{Re}\{s\}>\tfrac12.

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