Determine a função do tempo, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
(d) \frac{s+2}{s^{2}+7 s+12}, \quad-4<\operatorname{Re}\{s\}<-3

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada de Laplace bilateral
X(s)=\frac{s+2}{s^{2}+7s+12}
com região de convergência -4<\Re\{s\}<-3.
O conteúdo que vamos usar é a decomposição em frações parciais e a tabela de transformadas inversas para sinais de tempo positivo e negativo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e fazemos frações parciais:
s^{2}+7s+12=(s+3)(s+4),
\frac{s+2}{(s+3)(s+4)}=\frac{A}{s+3}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando por (s+3)(s+4) obtemos
s+2 = A(s+4)+B(s+3).
Tomando s=-3 -3+2 = A(1), logo A=-1.
Tomando s=-4 -4+2 = B(-1), logo B=2.
Assim
X(s)=-\frac{1}{s+3}+\frac{2}{s+4}.

Passo 3

Agora invertemos cada parcela sabendo que
  • A transformada de \;e^{-3t}u(-t)\; é \;1/(s+3), com ROC \Re\{s\}<-3.
  • A transformada de \;e^{-4t}u(t)\; é \;1/(s+4), com ROC \Re\{s\}>-4.
    Para ajustar aos coeficientes:
-\frac{1}{s+3}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} -e^{-3t}u(-t), \qquad \frac{2}{s+4}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} 2\,e^{-4t}u(t).

Passo 4

Combinando as duas partes, a função no tempo fica
x(t) = -\,e^{-3t}\,u(-t)\;+\;2\,e^{-4t}\,u(t),
e a região de convergência, conforme dada, é
-4 < \Re\{s\} < -3.

Resposta

x(t) = \begin{cases} -\,e^{-3t}, & t<0,\\\\ 2\,e^{-4t}, & t>0, \end{cases} \quad \text{ROC: } -4<\Re\{s\}< -3.

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