Determine a função de transferência para cada um dos sistemas. \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right] u(t) y(t)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \end{array}\right] x(t)+u(t) Passo 1O enunciado nos dá um sistema em representação de espaço de estados \dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,x(t)+D\,u(t) com A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\[6pt] -1 & -1 & 1 \\[6pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 \\[3pt] 0 \\[3pt] -1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\end{pmatrix},\quad D=1. O conteúdo aqui é obter a função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C\,(sI-A)^{-1}B+D.] Passo 2Começamos montando a matriz \displaystyle sI-A. Como \displaystyle I=\mathrm{diag}(1,1,1), temos sI - A =\begin{pmatrix} s+2 & 0 & 0 \\[3pt] 1 & s+1 & -1 \\[3pt] -2 & 0 & s-1 \end{pmatrix}.] Passo 3Para não inverter toda a matriz, vamos calcular \displaystyle v=(sI-A)^{-1}B resolvendo (sI-A)\,v=B. Escrevendo v=(v_1,v_2,v_3)^\mathsf{T} e B=(1,0,-1)^\mathsf{T}, o sistema é \begin{cases} (s+2)\,v_1 = 1, \\[3pt] v_1 + (s+1)\,v_2 - v_3 = 0, \\[3pt] -2\,v_1 + (s-1)\,v_3 = -1. \end{cases}] Passo 4Da primeira equação vem v_1=\frac{1}{s+2}. Usando isso na terceira equação, (s-1)\,v_3 = -1 + 2\,v_1 = -1 + \frac{2}{s+2} = \frac{-s}{s+2}, logo v_3 = -\frac{s}{(s+2)(s-1)}. Agora a segunda equação dá (s+1)\,v_2 = v_3 - v_1 = -\frac{s}{(s+2)(s-1)} - \frac{1}{s+2} = \frac{1-2s}{(s+2)(s-1)}, portanto v_2 = \frac{1-2s}{(s+2)(s-1)(s+1)}. Passo 5A função de transferência é G(s)=C\,v + D = v_2 + v_3 + 1. Somando v_2 e v_3 com denominador comum (s+2)(s-1)(s+1) e depois acrescentando 1=\frac{(s+2)(s-1)(s+1)}{(s+2)(s-1)(s+1)}, obtemos G(s) = \frac{-s^2-3s+1 + (s+2)(s-1)(s+1)}{(s+2)(s-1)(s+1)} = \frac{s^3 + s^2 -4s -1}{(s+2)(s-1)(s+1)}. Resposta G(s)=\frac{s^3 + s^2 -4s -1}{(s+2)(s-1)(s+1)}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a função de transferência para cada um dos sistemas. \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & -1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 & -3\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] u(t) y(t)=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] x(t) Determine a função de transferência para cada um dos sistemas. \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & -1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 & -3\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] u(t) y(t)=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] x(t) Determine a função de transferência para cada um dos sistemas. \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right] u(t) y(t)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \end{array}\right] x(t)+u(t) Simule a questão 13. \mathrm{M}_{1}=\mathrm{M}_{2}=1 \mathrm{Kg} ; \mathrm{K}=0.5 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \mathrm{e} \mathrm{B}=0,2 \mathrm{~N} / \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} a) Para entrada nula e M1 com condições iniciais: velocidade nula e posição igual a 2 m . b) Repita a simulação pra \mathrm{B}=0