Determine a função de transferência para cada um dos sistemas.
\dot{x}(t)=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right] u(t)
y(t)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \end{array}\right] x(t)+u(t)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema em representação de espaço de estados
\dot{x}(t)=A\,x(t)+B\,u(t),\quad y(t)=C\,x(t)+D\,u(t)
com
A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\[6pt] -1 & -1 & 1 \\[6pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 \\[3pt] 0 \\[3pt] -1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\end{pmatrix},\quad D=1.
O conteúdo aqui é obter a função de transferência
\displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C\,(sI-A)^{-1}B+D.]

Passo 2

Começamos montando a matriz \displaystyle sI-A. Como
\displaystyle I=\mathrm{diag}(1,1,1), temos
sI - A =\begin{pmatrix} s+2 & 0 & 0 \\[3pt] 1 & s+1 & -1 \\[3pt] -2 & 0 & s-1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para não inverter toda a matriz, vamos calcular \displaystyle v=(sI-A)^{-1}B
resolvendo (sI-A)\,v=B. Escrevendo v=(v_1,v_2,v_3)^\mathsf{T} e B=(1,0,-1)^\mathsf{T}, o sistema é
\begin{cases} (s+2)\,v_1 = 1, \\[3pt] v_1 + (s+1)\,v_2 - v_3 = 0, \\[3pt] -2\,v_1 + (s-1)\,v_3 = -1. \end{cases}]

Passo 4

Da primeira equação vem
v_1=\frac{1}{s+2}.
Usando isso na terceira equação,
(s-1)\,v_3 = -1 + 2\,v_1 = -1 + \frac{2}{s+2} = \frac{-s}{s+2},
logo
v_3 = -\frac{s}{(s+2)(s-1)}.
Agora a segunda equação dá
(s+1)\,v_2 = v_3 - v_1 = -\frac{s}{(s+2)(s-1)} - \frac{1}{s+2} = \frac{1-2s}{(s+2)(s-1)},
portanto
v_2 = \frac{1-2s}{(s+2)(s-1)(s+1)}.

Passo 5

A função de transferência é
G(s)=C\,v + D = v_2 + v_3 + 1.
Somando v_2 e v_3 com denominador comum (s+2)(s-1)(s+1) e depois acrescentando 1=\frac{(s+2)(s-1)(s+1)}{(s+2)(s-1)(s+1)}, obtemos
G(s) = \frac{-s^2-3s+1 + (s+2)(s-1)(s+1)}{(s+2)(s-1)(s+1)} = \frac{s^3 + s^2 -4s -1}{(s+2)(s-1)(s+1)}.

Resposta

G(s)=\frac{s^3 + s^2 -4s -1}{(s+2)(s-1)(s+1)}.

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