Determine a função de transferência para cada um dos sistemas.
\dot{x}(t)=\left[\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & -1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 & -3\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] u(t)
y(t)=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear invariante no tempo no espaço de estados
\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t), \qquad y(t)=C\,x(t),
com
A=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0\\\\ -1 & -1& 0 & 0\\\\ 2 & 0 & -1 & -1\\\\ 2 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C\,(sI-A)^{-1}B.

Passo 2

Escrevemos a matriz sI - A e montamos o sistema
(sI-A)X(s)=B\,U(s),
isto é, em componentes:
\begin{cases} (s+2)\,X_1 = U,\\\ X_1+(s+1)\,X_2 = 0,\\\\ -2\,X_1+(s+1)\,X_3 + X_4 = -\,U,\\\\ -2\,X_1 -3\,X_3+(s+3)\,X_4 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
X_1=\frac{U}{s+2},
e da segunda,
X_2=-\frac{X_1}{s+1} =-\frac{U}{(s+1)(s+2)}.

Passo 4

Para X_3 e X_4 resolvemos o sistema
\begin{pmatrix} s+1 & 1\\\\ -3 & s+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X_3\X_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{s\,U}{s+2}\\[6pt] \dfrac{2\,U}{s+2} \end{pmatrix}.
O determinante é
D=(s+1)(s+3)+3=s^2+4s+6,
e pelo método de Cramer obtemos
X_3=-\frac{(s+1)\,U}{s^2+4s+6}.]

Passo 5

Como Y(s)=X_2+X_3, a função de transferência é
G(s)=\frac{X_2}{U}+\frac{X_3}{U} =-\frac{1}{(s+1)(s+2)} -\frac{s+1}{s^2+4s+6}.
Unificando em um único quociente:
G(s) =-\frac{s^3+5s^2+9s+8} {(s+1)(s+2)(s^2+4s+6)} =-\frac{s^3+5s^2+9s+8}{s^4+7s^3+20s^2+26s+12}.

Resposta

G(s)=-\frac{s^3+5s^2+9s+8}{s^4+7s^3+20s^2+26s+12}.

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