Determine a transformada de Laplace inversa dos sinais definidos nos itens a seguir .
U(s)=\frac{1}{(s+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
U(s)=\frac{1}{(s+1)^{3}}.
O conteúdo aqui é usar a propriedade geral de transformada de Laplace para potências de t multiplicadas por decaimento exponencial.

Passo 2

Lembramos da fórmula padrão da transformada direta: se
f(t)=t^{n}e^{-a t},
então
\mathcal{L}\{t^{n}e^{-a t}\} =\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.
Invertendo, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s+a)^{\,n+1}}\Big\} =\frac{t^{n}}{n!}\,e^{-a t}.

Passo 3

No nosso caso comparando
\frac{1}{(s+1)^{3}} \quad\text{com}\quad \frac{1}{(s+a)^{\,n+1}},
vemos que a=1 e n+1=3, ou seja n=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de inversão com n=2 e a=1, temos
u(t) =\frac{t^{2}}{2!}\,e^{-1\cdot t} =\frac{t^{2}}{2}\,e^{-t}.

Resposta

u(t)=\frac{t^{2}}{2}\,e^{-t}.

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