Determine as funções composta abaixo
Considere f(x)=x^{2} \quad g(x)=3 x+1 \quad e \quad k(x)=3 x^{2}+2 x
d) kof

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede a função composta indicada na letra d). Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{2}.
  • g(x)=3x+1.
  • k(x)=3x^{2}+2x.
    A letra d) pede a composição indicada por “kof”, ou seja, k\circ f. Não inicio a resolução aqui, só registrei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Definição e ideia básica de composição: para duas funções f e k, a composição k\circ f é a função que aplica primeiro f e depois k ao resultado de f. Em notação:
(k\circ f)(x)=k(f(x)).
Aqui x é a variável de entrada da composição; f(x) é o valor intermediário que entra em k. É útil pensar em f como uma máquina que transforma x em f(x) e depois k como outra máquina que pega esse f(x) e devolve k(f(x)).

Passo 3

Escrevendo explicitamente f(x): temos
f(x)=x^{2}.
Isso significa que, ao formar k(f(x)), onde aparecer a variável da definição de k devemos substituir pelo valor x^{2}.

Passo 4

Reescrevo k usando uma variável genérica t para deixar a substituição clara:
k(t)=3t^{2}+2t.
Agora substituo t por f(x), isto é, por x^{2}:
k(f(x))=3\bigl(f(x)\bigr)^{2}+2\bigl(f(x)\bigr).

Passo 5

Faço as potências e simplifico passo a passo. Primeiro, \bigl(f(x)\bigr)^{2}=\bigl(x^{2}\bigr)^{2}. Lembrando a regra de potências (a^{m})^{n}=a^{mn}, obtemos \bigl(x^{2}\bigr)^{2}=x^{4}. Substituindo:
k(f(x))=3x^{4}+2x^{2}.
Então a composição simplificada é 3x^{4}+2x^{2}.

Passo 6

Domínio da composição: f e k são polinômios, cujo domínio natural é todo o conjunto dos números reais. Portanto o domínio de k\circ f também é \mathbb{R}. Em notação:
\operatorname{Dom}(k\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação numérica (exemplo) para ganhar confiança: tomo x=2. Primeiro calculo f(2)=2^{2}=4. Depois k(f(2))=k(4)=3\cdot4^{2}+2\cdot4=3\cdot16+8=48+8=56. Usando a fórmula final: 3\cdot2^{4}+2\cdot2^{2}=3\cdot16+2\cdot4=48+8=56. Os dois caminhos dão o mesmo resultado, confirmando a composição.

Resposta

k\circ f(x)=3x^{4}+2x^{2}

Exercícios relacionados